Одно из двух целых чисел при делении на даёт остаток , а другое даёт остаток . Какой остаток получится при делении на их произведения?
— частное.
— остаток.
Ответ: остаток равен 8.
Важное свойство остатков: остаток от деления произведения двух чисел равен остатку от деления произведения их остатков на это же число.
В данном случае: . При делении на получается и остаток .
Для решения задачи представим исходные числа в общем виде через делитель и остаток:
Любое число, дающее остаток при делении, можно записать как . По условию задачи:
Найдем их произведение, перемножив полученные выражения:
Раскроем скобки (каждое слагаемое первой скобки умножаем на каждое слагаемое второй):
Нам нужно понять, какой остаток дает это выражение при делении на . Заметим, что первые три слагаемых уже делятся на нацело. Разложим последнее число на сумму, где одно из чисел кратно :
Теперь все выражение выглядит так:
Вынесем за скобки везде, где это возможно:
Мы привели произведение к классическому виду деления с остатком: . В нашем случае роль остатка играет число .
