Одно из двух целых чисел при делении на 9 даёт остаток 7, а другое даёт остаток 5. Какой остаток получится при делении на 9 их произведения?
Краткое решение
a=9k+7,b=9m+5 ab=(9k+7)(9m+5)= =81km+45k+63m+35= =9⋅9km+9⋅5k+9⋅7m+27+8= =9⋅(9km+5k+7m+3)+8 9km+5k+7m+3 — частное.
8 — остаток.
Ответ: остаток равен 8.
Подробное решение
📚 Теория: Остаток произведения
Важное свойство остатков: остаток от деления произведения двух чисел равен остатку от деления произведения их остатков на это же число.
В данном случае: 7⋅5=35. При делении 35 на 9 получается 3 и остаток 8.
Подробный разбор решения
Для решения задачи представим исходные числа в общем виде через делитель и остаток:
1. Запись чисел через формулу
Любое число, дающее остаток при делении, можно записать как n⋅q+r. По условию задачи:
- Первое число: a=9k+7 (где k — целое частное);
- Второе число: b=9m+5 (где m — целое частное).
2. Умножение чисел
Найдем их произведение, перемножив полученные выражения:
ab=(9k+7)(9m+5) Раскроем скобки (каждое слагаемое первой скобки умножаем на каждое слагаемое второй):
ab=81km+45k+63m+35 3. Выделение целой части делителя
Нам нужно понять, какой остаток дает это выражение при делении на 9. Заметим, что первые три слагаемых уже делятся на 9 нацело. Разложим последнее число 35 на сумму, где одно из чисел кратно 9:
35=27+8 Теперь все выражение выглядит так:
ab=81km+45k+63m+27+8 Вынесем 9 за скобки везде, где это возможно:
ab=9⋅(9km+5k+7m+3)+8 Итоговый результат
Мы привели произведение к классическому виду деления с остатком: D=d⋅q+r. В нашем случае роль остатка r играет число 8.
