Номер 756 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что при любом значении $x$ разность многочленов $1 \frac{3}{4} x^{4} - \frac{1}{8} x^{3} - 1 \frac{1}{4} x^{2} + \frac{2}{5} x + \frac{5}{7}$ и $0, 75 x^{4} - 0, 125 x^{3} - 2, 25 x^{2} + 0, 4 x - \frac{3}{7}$ принимает положительное значение.

Краткое решение

(\frac{7}{4} x^{4} - \frac{1}{8} x^{3} - \frac{5}{4} x^{2} + \frac{2}{5} x + \frac{5}{7}) - (0, 75 x^{4} - 0, 125 x^{3} - 2, 25 x^{2} + 0, 4 x - \frac{3}{7}) =

= 1, 75 x^{4} - 0, 125 x^{3} - 1, 25 x^{2} + 0, 4 x + \frac{5}{7} - 0, 75 x^{4} + 0, 125 x^{3} + 2, 25 x^{2} - 0, 4 x + \frac{3}{7} =

= (1, 75 x^{4} - 0, 75 x^{4}) + (- 0, 125 x^{3} + 0, 125 x^{3}) + (- 1, 25 x^{2} + 2, 25 x^{2}) + (0, 4 x - 0, 4 x) + (\frac{5}{7} + \frac{3}{7}) =

= (1, 75 - 0, 75) x^{4} + (- 0, 125 + 0, 125) x^{3} + (- 1, 25 + 2, 25) x^{2} + (0, 4 - 0, 4) x + (\frac{5}{7} + \frac{3}{7}) =

= x^{4} + x^{2} + \frac{8}{7} =

= x^{4} + x^{2} + 1 \frac{1}{7} > 0 при любом значении x, так как x^{4} \geq 0 и x^{2} \geq 0 при любом значении x, а 1 \frac{1}{7} > 0.

Что и требовалось доказать.

Подробное решение

📚 Теория: Свойства четной степени

Любое выражение в четной степени ( $x^{2}, x^{4}$ и т.д.) всегда принимает неотрицательные значения (больше или равно нулю). Сумма неотрицательных величин и положительного числа всегда будет больше нуля.

Подробное решение

Для доказательства составим разность двух указанных многочленов:

Шаг 1: Приведение к десятичным дробям

Для удобства вычислений переведем обыкновенные дроби первого многочлена в десятичные:

$1 \frac{3}{4} = 1, 75$ ;
$\frac{1}{8} = 0, 125$ ;
$1 \frac{1}{4} = 1, 25$ ;
$\frac{2}{5} = 0, 4$ .

Шаг 2: Раскрытие скобок и группировка

Вычитая второй многочлен, мы меняем знаки всех его слагаемых. После этого группируем члены с одинаковыми степенями $x$ :

Слагаемые с $x^{3}$ и $x$ взаимно уничтожаются, так как их коэффициенты в сумме дают ноль.
Разность коэффициентов при $x^{4}$ дает $1$ .
Разность коэффициентов при $x^{2}$ дает $1$ .

Шаг 3: Логический вывод

В результате упрощения получаем выражение $x^{4} + x^{2} + 1 \frac{1}{7}$ . Поскольку четные степени $x^{4}$ и $x^{2}$ не могут быть меньше нуля, а свободный член положительный, всё выражение всегда будет больше нуля.

Номер 756 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Краткое решение

Подробное решение

📚 Теория: Свойства четной степени

Подробное решение

Шаг 1: Приведение к десятичным дробям

Шаг 2: Раскрытие скобок и группировка

Шаг 3: Логический вывод

💡 Похожие номера

🕒 Вы недавно смотрели