Найдите целое число, которое как при делении на 5, так и при делении на 7 даёт остаток 1, причём первое частное на 4 больше второго.
Краткое решение
Пусть a — искомое число.
a=5k+1 и a=7m+1 k=m+4, тогда
a=5(m+4)+1= =5m+20+1=5m+21 5m+21=7m+1 5m−7m=1−21 m=220 a=7⋅10+1=70+1=71. Ответ: 71.
Подробное решение
📚 Теория: Формула деления с остатком
Любое число при делении с остатком можно записать в виде:
a=b⋅q+r Где
b — делитель,
q — частное,
r — остаток. По условию остаток
r=1 для обоих случаев деления.
Подробный разбор решения
Для решения задачи составим математическую модель, используя два способа записи одного и того же числа:
1. Определение условий
Нам известно, что число a даёт остаток 1 при делении на 5 и на 7. Обозначим частные как k и m соответственно:
- При делении на 5: a=5k+1
- При делении на 7: a=7m+1
В условии сказано, что первое частное на 4 больше второго, значит: k=m+4.
2. Составление уравнения
Подставим выражение для k в первую формулу и приравняем оба выражения для a:
5(m+4)+1=7m+1 Раскрываем скобки и упрощаем:
5m+20+1=7m+1 5m+21=7m+1 3. Решение и поиск числа
Переносим слагаемые с m в одну сторону, а числа в другую:
21−1=7m−5m 20=2m⟹m=10 Теперь подставим m=10 во вторую формулу числа a:
a=7⋅10+1=71 