Докажите, что при любых значениях переменной значение выражения:
- а) 3(x2−x+1)−0,5x(4x−6) является положительным числом;
- б) y(2+y−y3)−32(6+3y+1,5y2) является отрицательным числом.
Краткое решение
а)3(x2−x+1)−0,5x(4x−6)= =3x2−3x+3−2x2+3x= =x2+3>0, так как x2≥0. б)y(2+y−y3)−32(6+3y+23y2)= =2y+y2−y4−(4+2y+y2)= =−y4−4<0, так как y4≥0, тогда −y4≤0. Подробное решение
📚 Теория: Свойства степеней
Для доказательства знака выражения используются свойства чётных степеней:
- Любое число в чётной степени (2, 4, 6...) всегда неотрицательно: x2n≥0.
- Если к неотрицательному числу прибавить положительное, результат всегда будет больше нуля (>0).
- Если из отрицательного числа вычесть положительное (или прибавить отрицательное к неположительному), результат всегда будет меньше нуля (<0).
Подробный разбор решения
Разбор пункта а)
1. Раскроем скобки, используя распределительное свойство:
3x2−3x+3−2x2+3x 2. Приведем подобные слагаемые. Заметим, что −3x и 3x взаимно уничтожаются (−3x+3x=0):
(3x2−2x2)+3=x2+3 3. Оценим значение полученного многочлена. Так как x2 — это квадрат числа, он всегда ≥0. Прибавляя 3, мы гарантированно получаем положительный результат при любом x.
Разбор пункта б)
1. Выполним умножение в обеих частях выражения:
2y+y2−y4−(32⋅6+32⋅3y+32⋅23y2) 2y+y2−y4−(4+2y+y2) 2. Раскроем скобки, перед которыми стоит знак минус, меняя знаки слагаемых внутри на противоположные:
2y+y2−y4−4−2y−y2 3. Приведем подобные: 2y и −2y, а также y2 и −y2 обнуляются. Остаётся:
4. Оценка: y4 всегда ≥0, следовательно −y4 всегда ≤0. Вычитая 4, мы всегда получаем число, меньшее нуля.
