Учебник «Вероятность и статистика. 7–9 классы», часть 1, с. 82, §18
№121. Каждый федеральный округ Российской Федерации объединяет несколько регионов, например областей или республик. Можно построить граф смежности, изображая регионы вершинами. Две вершины связаны ребром, если соответствующие регионы имеют участок сухопутной границы. На рисунках 22 и 23 изображены карты Дальневосточного (рис. 22) и Приволжского (рис. 23) федеральных округов.
Постройте граф смежности регионов:
а) для ДВФО; б) для ПФО.
Есть ли в графе изолированная вершина?
Дано:
карты ДВФО (рис. 22) и ПФО (рис. 23); ребро — общий участок сухопутной границы
Найти:
графы смежности регионов ДВФО и ПФО; есть ли изолированная вершина
Правило построения: регион — вершина; если у двух регионов есть общий участок сухопутной границы, соединяем соответствующие вершины ребром. Если границы между регионами нет (в том числе если они разделены морем или касаются только в одной точке), ребра нет. Соседей определяем по картам на рисунках 22 и 23: сначала выписываем для каждого региона всех его соседей внутри округа, потом рисуем граф.
а) Дальневосточный федеральный округ. На карте 11 регионов: Республика Саха (Якутия), Чукотский АО, Камчатский край, Магаданская область, Хабаровский край, Приморский край, Амурская область, Еврейская АО, Сахалинская область, Забайкальский край и Республика Бурятия. Выпишем соседей:
| Регион | Соседи по сухопутной границе (внутри округа) |
|---|---|
| Чукотский АО | Республика Саха, Магаданская область, Камчатский край |
| Камчатский край | Чукотский АО, Магаданская область |
| Магаданская область | Чукотский АО, Камчатский край, Республика Саха, Хабаровский край |
| Республика Саха | Чукотский АО, Магаданская область, Хабаровский край, Амурская область, Забайкальский край |
| Хабаровский край | Магаданская область, Республика Саха, Амурская область, Еврейская АО, Приморский край |
| Амурская область | Республика Саха, Хабаровский край, Еврейская АО, Забайкальский край |
| Еврейская АО | Амурская область, Хабаровский край |
| Приморский край | Хабаровский край |
| Забайкальский край | Республика Саха, Амурская область, Республика Бурятия |
| Республика Бурятия | Забайкальский край |
| Сахалинская область | — (соседей в округе нет) |
Каждая граница встречается в таблице дважды (Саха — Магаданская и Магаданская — Саха), поэтому всего рёбер . Рисуем граф (рёбра пересекаться не будут):
В графе 11 вершин и 15 рёбер. Сахалинская область — это остров Сахалин и Курильские острова: сухопутной границы с другими регионами округа у неё нет, поэтому её вершина ни с одной другой не соединена. Изолированная вершина есть — Сахалинская область.
б) Приволжский федеральный округ. На карте 14 регионов. Выпишем соседей:
| Регион | Соседи по сухопутной границе (внутри округа) |
|---|---|
| Кировская область | Пермский край, Удмуртия, Татарстан, Марий Эл, Нижегородская область |
| Пермский край | Кировская область, Удмуртия, Башкортостан |
| Удмуртия | Кировская область, Пермский край, Татарстан, Башкортостан |
| Марий Эл | Кировская область, Татарстан, Чувашия, Нижегородская область |
| Нижегородская область | Кировская область, Марий Эл, Чувашия, Мордовия |
| Чувашия | Нижегородская область, Марий Эл, Татарстан, Мордовия, Ульяновская область |
| Мордовия | Нижегородская область, Чувашия, Ульяновская область, Пензенская область |
| Татарстан | Кировская область, Удмуртия, Башкортостан, Оренбургская область, Самарская область, Ульяновская область, Чувашия, Марий Эл |
| Башкортостан | Пермский край, Удмуртия, Татарстан, Оренбургская область |
| Оренбургская область | Башкортостан, Татарстан, Самарская область |
| Самарская область | Саратовская область, Ульяновская область, Оренбургская область, Татарстан |
| Ульяновская область | Самарская область, Саратовская область, Пензенская область, Мордовия, Чувашия, Татарстан |
| Пензенская область | Саратовская область, Ульяновская область, Мордовия |
| Саратовская область | Пензенская область, Самарская область, Ульяновская область |
Число рёбер: . Граф:
В графе 14 вершин и 30 рёбер. У каждого региона ПФО есть хотя бы один сосед внутри округа (у Татарстана их даже восемь), поэтому изолированных вершин нет.
Замечания. Оренбургская и Саратовская области соприкасаются только в одной точке на границе с Казахстаном — участка границы нет, ребра между ними не проводим. Если бы округ ДВФО брали в прежних границах (до 2018 года, без Бурятии и Забайкальского края), вершин было бы 9; изолированной осталась бы по-прежнему Сахалинская область.
Ответ: а) граф ДВФО: 11 вершин, 15 рёбер; изолированная вершина есть — Сахалинская область; б) граф ПФО: 14 вершин, 30 рёбер; изолированных вершин нет.
