Учебник «Вероятность и статистика. 7–9 классы», часть 1, с. 76, §17*
№114. Если найти среднее значение атмосферного давления летом в Москве по данным таблицы 42 (задача 113, а), то полученное значение будет отличаться от среднего значения 746,32 мм рт. ст., которое получается, если данные не группировать (см. табл. 41).
а) Выразите отличие в процентах от величины среднего давления. Как вы думаете, является ли различие между этими двумя величинами существенным?
б) Чем объясняется расхождение между средними значениями, полученными без группировки и с группировкой данных?
Дано:
среднее по таблице 42 ≈ 746,39 мм рт. ст.; среднее без группировки 746,32 мм рт. ст.
Найти:
отличие в процентах, существенно ли оно; причина расхождения
а) В №113 а) по сгруппированным данным получилось мм рт. ст., а без группировки (по всем 92 значениям таблицы 41) — 746,32 мм рт. ст. Разность:
Выразим её в процентах от среднего давления:
Это меньше одной сотой процента — ничтожная величина. Размах давления за лето — от 730,5 до 758,1 мм рт. ст., то есть почти 28 мм, а расхождение средних — всего 0,07 мм. Различие несущественно: для практических целей оба значения можно считать одинаковыми.
(Если взять частоты из таблицы 42 в округлённом виде, то их сумма 1,002 и среднее получится ≈ 747,9, отличие ≈ 0,2% — тоже мало.)
б) При группировке мы теряем точные значения: внутри каждого интервала считаем, что все значения равны середине интервала. На самом деле одни значения интервала лежат левее середины, другие — правее, и в среднем эти отклонения почти взаимно уничтожаются, но не полностью — поэтому среднее немного отличается от точного. Расхождение возникает от замены реальных значений серединами интервалов и (в меньшей степени) от округления частот. Чем меньше шаг группировки, тем меньше расхождение; при очень крупном шаге оно могло бы стать заметным.
Ответ: а) отличие 0,07 мм рт. ст., это ≈ 0,009% среднего — несущественно; б) при группировке значения заменяются серединами интервалов, и точные значения теряются.
