Учебник «Вероятность и статистика. 7–9 классы», часть 1, с. 76, §17*
№115. Массив некоторых числовых данных сгруппировали шагом 10. По этим сгруппированным данным нашли среднее значение. Оно получилось равным 224,5. Можно ли утверждать, что настоящее среднее значение:
а) находится между 224 и 225;
б) больше, чем 220;
в) меньше, чем 234,5?
В какой промежуток истинное среднее значение попадает наверняка?
Дано:
данные сгруппированы шагом 10; среднее по сгруппированным данным 224,5
Найти:
можно ли утверждать а), б), в); промежуток, куда наверняка попадает настоящее среднее
При группировке каждое число массива заменяют серединой его интервала (см. №113). Ширина интервала 10, поэтому настоящее число отличается от середины своего интервала не больше чем на половину ширины, то есть не больше чем на 5: число может лежать где угодно от левого до правого конца интервала.
Если каждое число заменено другим, которое отличается от него не больше чем на 5, то среднее арифметическое всех чисел тоже изменится не больше чем на 5 (в худшем случае все отклонения в одну сторону — тогда среднее сдвинется ровно на 5; в других случаях отклонения частично компенсируют друг друга). Поэтому настоящее среднее отличается от найденного 224,5 не больше чем на 5:
Теперь отвечаем на вопросы.
а) Между 224 и 225 — нельзя утверждать. Промежуток от 224 до 225 очень узкий, а истинное среднее может быть любым в промежутке от 219,5 до 229,5 (например, 221 или 228).
б) Больше 220 — утверждать нельзя. Нижняя граница возможных значений 219,5 меньше 220, поэтому, хотя чаще среднее будет больше 220, гарантировать этого нельзя.
в) Меньше 234,5 — можно утверждать. Верхняя граница 229,5 меньше 234,5, то есть настоящее среднее всегда меньше 234,5.
Наверняка настоящее среднее значение находится в промежутке от 219,5 до 229,5.
Ответ: а) нельзя; б) нельзя; в) можно. Настоящее среднее наверняка находится в промежутке от 219,5 до 229,5.
