Номер 405 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Три образующие, попарно перпендикулярные, отсекают на основании правильный треугольник. Его радиус описанной окружности — это радиус основания, а теорема косинусов в осевом сечении даёт угол при вершине.

1. 1Все образующие равны: $PA=PB=PC=l$. Концы образующих лежат на окружности основания.
2. 2В каждом из треугольников $APB$, $BPC$, $CPA$ угол при вершине прямой, катеты равны $l$. Гипотенуза равна $l\sqrt{2}$ (теорема Пифагора). Значит, $ABC$ — правильный.
3. 3Окружность основания проходит через $A$, $B$, $C$, то есть описана около правильного треугольника. Её радиус равен $\frac{a}{\sqrt{3}}$, где $a$ — сторона треугольника.
4. 4Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $l$ и основанием $2r$. Косинус угла при вершине выражается из теоремы косинусов; $r^2$ подставляем из предыдущего шага.

Проверка. Косинус отрицателен, значит, угол при вершине осевого сечения тупой. Для $l=1$: $r=\sqrt{2/3}\approx 0,82$, $2r\approx 1,63>\sqrt{2}$ — основание сечения длиннее, чем гипотенуза при прямом угле, поэтому угол больше $90^{\circ }$.