Номер 1093 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Найдите решение системы уравнений:

\\text{а) } \begin{cases} \frac{x}{3} - \frac{y}{2} = -4, \\ \frac{x}{2} + \frac{y}{2} = -2; \end{cases}

\\text{б) } \begin{cases} \frac{a}{6} - 2b = 6, \\ -3a + \frac{b}{2} = -37; \end{cases}

\\text{в) } \begin{cases} \frac{2m}{5} + \frac{n}{3} = 1, \\ \frac{m}{10} - \frac{7n}{6} = 4; \end{cases}

\\text{г) } \begin{cases} 7x - \frac{3y}{5} = -4, \\ x + \frac{2y}{5} = -3. \end{cases}

Краткое решение

а)

\begin{cases} \frac{x}{3} - \frac{y}{2} = -4 \quad | \cdot 6 \\ \frac{x}{2} + \frac{y}{2} = -2 \quad | \cdot 2 \end{cases}

\begin{cases} 2x - 3y = -24 \\ x + y = -4 \implies x = -4 - y \end{cases}

2(-4 - y) - 3y = -24

-8 - 2y - 3y = -24

-5y = -16 \implies y = 3,2

x = -4 - 3,2 = -7,2

Ответ: (-7,2; 3,2).

б)

\begin{cases} \frac{a}{6} - 2b = 6 \quad | \cdot 6 \\ -3a + \frac{b}{2} = -37 \quad | \cdot 2 \end{cases}

\begin{cases} a - 12b = 36 \implies a = 12b + 36 \\ -6a + b = -74 \end{cases}

-6(12b + 36) + b = -74

-72b - 216 + b = -74

-71b = 142 \implies b = -2

a = 12 \cdot (-2) + 36 = 12

Ответ: (12; -2).

в)

\begin{cases} \frac{2m}{5} + \frac{n}{3} = 1 \quad | \cdot 15 \ \frac{m}{10} - \frac{7n}{6} = 4 \quad | \cdot 30 \end{cases}

\begin{cases} 6m + 5n = 15 \ 3m - 35n = 120 \quad | \cdot (-2) \end{cases}

\begin{cases} 6m + 5n = 15 \ -6m + 70n = -240 \end{cases}

75n = -225 \implies n = -3

6m + 5(-3) = 15 \implies 6m = 30 \implies m = 5

Ответ: (5; -3).

г)

\begin{cases} 7x - \frac{3y}{5} = -4 \quad | \cdot 5 \\ x + \frac{2y}{5} = -3 \quad | \cdot 5 \end{cases}

\begin{cases} 35x - 3y = -20 \\ 5x + 2y = -15 \implies 5x = -15 - 2y \end{cases}

7(-15 - 2y) - 3y = -20

-105 - 14y - 3y = -20

-17y = 85 \implies y = -5

5x = -15 - 2(-5) = -5 \implies x = -1

Ответ: (-1; -5).

Подробное решение

В системе есть знаменатели 3 и 2. Чтобы от них избавиться, умножим уравнения на НОЗ:

1. Первое уравнение умножаем на 6: $2x - 3y = -24$ .

2. Второе уравнение умножаем на 2: $x + y = -4$ . Из него легко выразить $x = -4 - y$ .

3. Подставляем в первое: $2(-4 - y) - 3y = -24 \implies -8 - 2y - 3y = -24$ .

4. Находим значения: $-5y = -16 \implies y = 3,2$ . Тогда $x = -4 - 3,2 = -7,2$ .

1. Умножаем первое уравнение на 6, а второе на 2: $a - 12b = 36$ и $-6a + b = -74$ .

2. Используем метод подстановки: $a = 36 + 12b$ .

3. $-6(36 + 12b) + b = -74 \implies -216 - 72b + b = -74 \implies -71b = 142$ . Значит $b = -2$ .

4. Вычисляем $a = 36 + 12 \cdot (-2) = 36 - 24 = 12$ .

1. Для первого уравнения НОЗ(5, 3) = 15, для второго НОЗ(10, 6) = 30. Получаем: $6m + 5n = 15$ и $3m - 35n = 120$ .

2. Применим метод сложения. Умножим второе уравнение на -2: $-6m + 70n = -240$ .

3. Складываем с первым уравнением: $75n = -225 \implies n = -3$ .

4. Подставляем: $6m + 5 \cdot (-3) = 15 \implies 6m - 15 = 15 \implies 6m = 30 \implies m = 5$ .

1. Умножим оба уравнения на 5: $35x - 3y = -20$ и $5x + 2y = -15$ .

2. Из второго выразим $5x = -15 - 2y$ . Так как в первом уравнении есть $35x$ (это $7 \cdot 5x$ ), подставим выражение: $7(-15 - 2y) - 3y = -20$ .

3. Раскрываем скобки: $-105 - 14y - 3y = -20 \implies -17y = 85 \implies y = -5$ .

4. Находим икс: $5x = -15 - 2 \cdot (-5) = -15 + 10 = -5 \implies x = -1$ .

Краткое решение