Номер 1094 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарыchev

Решите систему уравнений:

а) {\frac{y}{4} - \frac{x}{5} = 6, \frac{x}{15} + \frac{y}{12} = 0;

б) {\frac{6 x}{5} + \frac{y}{15} = 2, 3, \frac{x}{10} - \frac{2 y}{3} = 1, 2;

в) {\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 2, \frac{3 x}{2} - y = 6;

г) {\frac{3 x}{5} - 2 y = 5, x - \frac{3 y}{2} = 6, 5.

Краткое решение

а)

{\frac{y}{4} - \frac{x}{5} = 6, / \times 20 \frac{x}{15} + \frac{y}{12} = 0; / \times 60

{5 y = 120 + 4 x, 4 x + 5 y = 0;

{y = \frac{120 + 4 x}{5}, 4 x + 5 \cdot \frac{120 + 4 x}{5} = 0;

4 x + 120 + 4 x = 0

8 x = - 120

x = - 15

y = \frac{120 + 4 \cdot ( - 15 )}{5} = \frac{60}{5} = 12

Ответ: x = -15, y = 12.

б)

{\frac{6 x}{5} + \frac{y}{15} = 2, 3, / \times 30 \frac{x}{10} - \frac{2 y}{3} = 1, 2; / \times 30

{36 x + 2 y = 69, 3 x - 20 y = 36;

{2 y = 69 - 36 x, 3 x - 20 y = 36;

{y = \frac{69 - 36 x}{2}, 3 x - 20 \cdot \frac{69 - 36 x}{2} = 36;

3 x - 10 \cdot (69 - 36 x) = 36

3 x - 690 + 360 x = 36

363 x = 726 ⟹ x = 2

y = \frac{69 - 36 \cdot 2}{2} = \frac{- 3}{2} = - 1, 5

Ответ: x = 2, y = -1,5.

в)

{\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 2, / \times 6 \frac{3 x}{2} - y = 6; / \times 2

{3 x - 2 y = 12, 3 x - 2 y = 12.

3 x = 12 + 2 y ⟹ x = \frac{12 + 2 y}{3}

Ответ: система имеет бесконечно много решений y - любое число, $x = \frac{12 + 2 y}{3}$ .

г)

{\frac{3 x}{5} - 2 y = 5, / \times 5 x - \frac{3 y}{2} = 6, 5; / \times 2

{3 x - 10 y = 25, 2 x - 3 y = 13;

{10 y = 3 x - 25 2 x - 3 y = 13

{y = 0, 3 x - 2, 5, 2 x - 3 \cdot (0, 3 x - 2, 5) = 13;

2 x - 0, 9 x + 7, 5 = 13

1, 1 x = 5, 5 ⟹ x = 5

y = 0, 3 \cdot 5 - 2, 5 = - 1

Ответ: x = 5, y = -1.

Подробное решение

Разбор пункта «а»

В уравнениях есть знаменатели 4, 5, 12 и 15. Первым делом мы от них избавимся:

1. Первое уравнение: НОК для 4 и 5 — это 20. Умножим всё на 20: $5 y - 4 x = 120$ . Отсюда выразим $5 y = 120 + 4 x$ .

2. Второе уравнение: НОК для 15 и 12 — это 60. Умножим всё на 60: $4 x + 5 y = 0$ .

3. Подстановка: Заметим, что во втором уравнении уже есть $5 y$ . Просто подставим вместо него наше выражение $(120 + 4 x)$ : $4 x + (120 + 4 x) = 0$ .

4. Решение: Складываем иксы: $8 x + 120 = 0 ⟹ 8 x = - 120 ⟹ x = - 15$ . Затем находим $y = (120 - 60) /5 = 12$ .

Разбор пункта «б»

1. Умножение: Умножаем оба уравнения на 30, чтобы убрать все знаменатели (5, 15, 10, 3).

2. Система: Получаем $36 x + 2 y = 69$ и $3 x - 20 y = 36$ . Из первого выражаем $2 y = 69 - 36 x$ , значит $y = (69 - 36 x) /2$ .

3. Подстановка: $3 x - 20 \cdot \frac{69 - 36 x}{2} = 36 ⟹ 3 x - 10 (69 - 36 x) = 36$ .

4. Раскрытие скобок: $3 x - 690 + 360 x = 36 ⟹ 363 x = 726$ . Корень $x = 2$ .

5. Итог: $y = (69 - 72) /2 = - 3/2 = - 1, 5$ .

Разбор пункта «в»

Это особый случай — неопределенная система:

1. После умножения первого уравнения на 6 и второго на 2 мы получаем систему из двух **одинаковых** уравнений: $3 x - 2 y = 12$ .

2. Это означает, что любая точка, лежащая на этой прямой, будет решением. Мы просто выражаем $x$ через $y$ : $x = (12 + 2 y) /3$ .

Разбор пункта «г»

1. Избавляемся от дробей: умножаем первое на 5, второе на 2. Получаем $3 x - 10 y = 25$ и $2 x - 3 y = 13$ .

2. Выразим $10 y = 3 x - 25$ , тогда $y = 0, 3 x - 2, 5$ .

3. Подставляем во второе: $2 x - 3 (0, 3 x - 2, 5) = 13 ⟹ 2 x - 0, 9 x + 7, 5 = 13$ .

4. $1, 1 x = 5, 5$ , значит $x = 5$ . Тогда $y = 0, 3 \cdot 5 - 2, 5 = - 1$ .