Найдите решение системы уравнений:
а) {x−6y=17,5x+6y=13; б) {4x−7y=−12,−4x+3y=12; в) {3x+2y=5,−5x+2y=45; г) {9x−4y=−13,9x−2y=−20.
Краткое решение
а)
{x−6y=17,5x+6y=13;
{6x=30,5x+6y=13;
{x=30:6,6y=13−5x;
{x=5,y=(13−5⋅5):6;
{x=5,y=−12:6;
{x=5,y=−2.
Ответ: (5; -2).
б)
{4x−7y=−12,−4x+3y=12;
{−4y=0,4x−7y=−12;
{y=0:(−4),4x=−12+7y;
{y=0,4x=−12+7⋅0;
{y=0,x=−12:4;
{x=−3,y=0.
Ответ: (-3; 0).
в)
{3x+2y=5,−5x+2y=45;∣⋅(−1)
{−3x−2y=−5,−5x+2y=45;
{−8x=40,3x+2y=5;
{x=40:(−8),2y=5−3x;
{x=−5,2y=5−3⋅(−5);
{x=−5,2y=20;
{x=−5,y=10.
Ответ: (-5; 10).
г)
{9x−4y=−13,∣⋅(−1)9x−2y=−20;
{−9x+4y=13,9x−2y=−20;
{2y=−7,9x−2y=−20;
{y=−7:2,9x=−20+2y;
{y=−3,5,9x=−20+2⋅(−3,5);
{y=−3,5,9x=−27;
{x=−3,y=−3,5.
Ответ: (-3; -3,5).
Подробное решение
Максимально подробный разбор решения
Метод сложения — это способ решения системы, при котором мы складываем два уравнения так, чтобы одна из переменных (буква x или y) полностью исчезла. Это возможно, когда коэффициенты перед этой переменной являются противоположными числами (например, 6 и −6).
Разбор пункта «а» (Убираем переменную y):
В нашей системе перед буквой y стоят идеальные для этого метода числа: −6 и +6.
- Шаг 1. Складываем уравнения: Складываем левые части с левыми, а правые — с правыми. (x+5x)+(−6y+6y)=17+13.
- Шаг 2. Находим x: Игреки превратились в ноль и «пропали». Осталось уравнение 6x=30. Разделим 30 на 6 и получим x=5.
- Шаг 3. Ищем вторую букву: Теперь подставим нашу пятерку в любое уравнение, например в первое: 5−6y=17.
- Шаг 4. Финальный расчет: Переносим 5 вправо с минусом: −6y=17−5⟹−6y=12. Делим 12 на -6 и получаем y=−2.
Разбор пункта «б» (Убираем переменную x):
Здесь противоположные числа стоят перед иксом: 4 и −4.
- Шаг 1: Складываем уравнения в столбик. Иксы сокращаются. Считаем игреки: −7y+3y=−4y. Считаем числа: −12+12=0.
- Шаг 2: Получаем уравнение −4y=0. Отсюда находим, что y=0.
- Шаг 3: Подставим ноль в первое уравнение вместо игрека: 4x−7⋅0=−12.
- Шаг 4: Упрощаем: 4x=−12. Разделим -12 на 4 и получим x=−3.
Разбор пункта «в» (Хитрость с одинаковыми числами):
В этой системе перед буквой y стоят одинаковые числа (2 и 2). Если их просто сложить, получится 4y, и буква не исчезнет. Что делать?
- Решение: Умножим всё первое уравнение на −1. Теперь вместо 3x+2y=5 у нас −3x−2y=−5.
- Шаг 2: Складываем новую первую строку со второй. Теперь у нас есть −2y и +2y, которые сокращаются.
- Шаг 3: Считаем иксы: −3x−5x=−8x. Считаем числа: −5+45=40. Получаем −8x=40⟹x=−5.
- Шаг 4: Подставим x=−5 в исходное уравнение: 3⋅(−5)+2y=5⟹−15+2y=5⟹2y=20⟹y=10.
Разбор пункта «г» (Снова одинаковые коэффициенты):
Здесь в обоих уравнениях перед иксом стоит число 9. Снова используем прием с умножением на минус один.
- Шаг 1: Умножаем верхнее уравнение на −1. Оно превращается в −9x+4y=13.
- Шаг 2: Складываем уравнения. Иксы пропадают. Считаем остальное: 4y−2y=2y, а справа 13−20=−7.
- Шаг 3: Находим корень: 2y=−7⟹y=−3,5.
- Шаг 4: Ищем икс, подставив значение во второе уравнение: 9x−2⋅(−3,5)=−20⟹9x+7=−20.
- Шаг 5: 9x=−27, значит x=−3. Система решена!
