Номер 1095 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Упростите выражение:

а) (2 x - 3 y)^{2} + (2 x + 3 y)^{2};

б) (2 x + 3 y)^{2} - (2 x - 3 y)^{2};

в) 2 (\frac{x}{2} + \frac{y}{4})^{2} + (2 x - y)^{2};

г) 3 (\frac{x}{3} + \frac{y}{9})^{2} - (3 x - y)^{2} .

Краткое решение

а)

(2 x - 3 y)^{2} + (2 x + 3 y)^{2} =

= 4 x^{2} - 12 x y + 9 y^{2} + 4 x^{2} + 12 x y + 9 y^{2} =

= 8 x^{2} + 18 y^{2} .

Ответ: $8 x^{2} + 18 y^{2}$

б)

(2 x + 3 y)^{2} - (2 x - 3 y)^{2} =

= (4 x^{2} + 12 x y + 9 y^{2}) - (4 x^{2} - 12 x y + 9 y^{2}) =

= 4 x^{2} + 12 x y + 9 y^{2} - 4 x^{2} + 12 x y - 9 y^{2} =

= 24 x y .

Ответ: $24 x y$

в)

2 (\frac{x}{2} + \frac{y}{4})^{2} + (2 x - y)^{2} =

= 2 (\frac{x ^{2}}{4} + \frac{x y}{4} + \frac{y ^{2}}{16}) + 4 x^{2} - 4 x y + y^{2} =

= \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x y}{2} + \frac{y ^{2}}{8} + 4 x^{2} - 4 x y + y^{2} =

= 4, 5 x^{2} - 3, 5 x y + 1, 125 y^{2} .

Ответ: $4, 5 x^{2} - 3, 5 x y + 1, 125 y^{2}$

г)

3 (\frac{x}{3} + \frac{y}{9})^{2} - (3 x - y)^{2} =

= 3 (\frac{x ^{2}}{9} + \frac{2 x y}{27} + \frac{y ^{2}}{81}) - (9 x^{2} - 6 x y + y^{2}) =

= \frac{x ^{2}}{3} + \frac{2 x y}{9} + \frac{y ^{2}}{27} - 9 x^{2} + 6 x y - y^{2} =

= - 8 \frac{2}{3} x^{2} + 6 \frac{2}{9} x y - \frac{26}{27} y^{2} .

Ответ: $- 8 \frac{2}{3} x^{2} + 6 \frac{2}{9} x y - \frac{26}{27} y^{2}$

Подробное решение

Подробный разбор пункта «а»

Для упрощения используем формулы квадрата суммы и разности: $(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 ab + b^{2}$ .

1. Раскроем первую скобку: $(2 x - 3 y)^{2} = 4 x^{2} - 12 x y + 9 y^{2}$ .

2. Раскроем вторую скобку: $(2 x + 3 y)^{2} = 4 x^{2} + 12 x y + 9 y^{2}$ .

3. Сложим результаты: $4 x^{2} - 12 x y + 9 y^{2} + 4 x^{2} + 12 x y + 9 y^{2}$ .

4. Слагаемые $- 12 x y$ и $+ 12 x y$ в сумме дают ноль. Остается: $8 x^{2} + 18 y^{2}$ .

Подробный разбор пункта «б»

1. Раскроем квадраты в обоих выражениях: $(4 x^{2} + 12 x y + 9 y^{2}) - (4 x^{2} - 12 x y + 9 y^{2})$ .

2. Важный шаг: Раскрываем вторую скобку. Так как перед ней стоит минус, все знаки внутри меняются: $- 4 x^{2} + 12 x y - 9 y^{2}$ .

3. Теперь $4 x^{2}$ и $9 y^{2}$ взаимно уничтожаются, а $12 x y + 12 x y = 24 x y$ .

Подробный разбор пункта «в»

1. Работаем с дробной скобкой: $(\frac{x}{2} + \frac{y}{4})^{2} = \frac{x ^{2}}{4} + 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{y}{4} + \frac{y ^{2}}{16} = \frac{x ^{2}}{4} + \frac{x y}{4} + \frac{y ^{2}}{16}$ .

2. Умножаем это на 2: $2 \cdot (\frac{x ^{2}}{4} + \frac{x y}{4} + \frac{y ^{2}}{16}) = \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x y}{2} + \frac{y ^{2}}{8}$ .

3. Раскрываем $(2 x - y)^{2} = 4 x^{2} - 4 x y + y^{2}$ .

4. Складываем коэффициенты: $0, 5 x^{2} + 4 x^{2} = 4, 5 x^{2}$ ; $0, 5 x y - 4 x y = - 3, 5 x y$ ; $0, 125 y^{2} + y^{2} = 1, 125 y^{2}$ .

Подробный разбор пункта «г»

1. Возводим в квадрат первую часть: $(\frac{x}{3} + \frac{y}{9})^{2} = \frac{x ^{2}}{9} + \frac{2 x y}{27} + \frac{y ^{2}}{81}$ .

2. Умножаем на 3: $3 \cdot (\frac{x ^{2}}{9} + \frac{2 x y}{27} + \frac{y ^{2}}{81}) = \frac{x ^{2}}{3} + \frac{2 x y}{9} + \frac{y ^{2}}{27}$ .

3. Раскрываем вторую скобку с учетом минуса: $- (9 x^{2} - 6 x y + y^{2}) = - 9 x^{2} + 6 x y - y^{2}$ .

4. Приводим подобные: $(\frac{1}{3} - 9) x^{2} = - 8 \frac{2}{3} x^{2}$ ; $(\frac{2}{9} + 6) x y = 6 \frac{2}{9} x y$ ; $(\frac{1}{27} - 1) y^{2} = - \frac{26}{27} y^{2}$ .