Найдите решение системы уравнений:
а) {3x−2y=−4,2x+2y=−2; б) {6a−2b=6,−3a+2b=−37; в) {52m+3n=1,10m−67n=4; г) {7x−53y=−4,x+52y=−3.
Краткое решение
а)
{3x−2y=−4∣⋅62x+2y=−2∣⋅2
{2x−3y=−24x+y=−4⟹x=−4−y
2(−4−y)−3y=−24
−8−2y−3y=−24
−5y=−16⟹y=3,2
x=−4−3,2=−7,2
Ответ: (-7,2; 3,2).
б)
{6a−2b=6∣⋅6−3a+2b=−37∣⋅2
{a−12b=36⟹a=12b+36−6a+b=−74
−6(12b+36)+b=−74
−72b−216+b=−74
−71b=142⟹b=−2
a=12⋅(−2)+36=12
Ответ: (12; -2).
в)
{52m+3n=1∣⋅15 10m−67n=4∣⋅30
{6m+5n=15 3m−35n=120∣⋅(−2)
{6m+5n=15 −6m+70n=−240
75n=−225⟹n=−3
6m+5(−3)=15⟹6m=30⟹m=5
Ответ: (5; -3).
г)
{7x−53y=−4∣⋅5x+52y=−3∣⋅5
{35x−3y=−205x+2y=−15⟹5x=−15−2y
7(−15−2y)−3y=−20
−105−14y−3y=−20
−17y=85⟹y=−5
5x=−15−2(−5)=−5⟹x=−1
Ответ: (-1; -5).
Подробное решение
Разбор пункта «а»
В системе есть знаменатели 3 и 2. Чтобы от них избавиться, умножим уравнения на НОЗ:
1. Первое уравнение умножаем на 6: 2x−3y=−24.
2. Второе уравнение умножаем на 2: x+y=−4. Из него легко выразить x=−4−y.
3. Подставляем в первое: 2(−4−y)−3y=−24⟹−8−2y−3y=−24.
4. Находим значения: −5y=−16⟹y=3,2. Тогда x=−4−3,2=−7,2.
Разбор пункта «б»
1. Умножаем первое уравнение на 6, а второе на 2: a−12b=36 и −6a+b=−74.
2. Используем метод подстановки: a=36+12b.
3. −6(36+12b)+b=−74⟹−216−72b+b=−74⟹−71b=142. Значит b=−2.
4. Вычисляем a=36+12⋅(−2)=36−24=12.
Разбор пункта «в»
1. Для первого уравнения НОЗ(5, 3) = 15, для второго НОЗ(10, 6) = 30. Получаем: 6m+5n=15 и 3m−35n=120.
2. Применим метод сложения. Умножим второе уравнение на -2: −6m+70n=−240.
3. Складываем с первым уравнением: 75n=−225⟹n=−3.
4. Подставляем: 6m+5⋅(−3)=15⟹6m−15=15⟹6m=30⟹m=5.
Разбор пункта «г»
1. Умножим оба уравнения на 5: 35x−3y=−20 и 5x+2y=−15.
2. Из второго выразим 5x=−15−2y. Так как в первом уравнении есть 35x (это 7⋅5x), подставим выражение: 7(−15−2y)−3y=−20.
3. Раскрываем скобки: −105−14y−3y=−20⟹−17y=85⟹y=−5.
4. Находим икс: 5x=−15−2⋅(−5)=−15+10=−5⟹x=−1.
