Номер 1094 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарыchev

Решите систему уравнений:

\text{а) } \begin{cases} \frac{y}{4} - \frac{x}{5} = 6, \\ \frac{x}{15} + \frac{y}{12} = 0; \end{cases}

\text{б) } \begin{cases} \frac{6x}{5} + \frac{y}{15} = 2,3, \\ \frac{x}{10} - \frac{2y}{3} = 1,2; \end{cases}

\text{в) } \begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 2, \\ \frac{3x}{2} - y = 6; \end{cases}

\text{г) } \begin{cases} \frac{3x}{5} - 2y = 5, \\ x - \frac{3y}{2} = 6,5. \end{cases}

Краткое решение

а)

\begin{cases} \frac{y}{4} - \frac{x}{5} = 6, \quad / \times 20 \\ \frac{x}{15} + \frac{y}{12} = 0; \quad / \times 60 \end{cases}

\begin{cases} 5y = 120 + 4x, \\ 4x + 5y = 0; \end{cases}

\begin{cases} y = \frac{120 + 4x}{5}, \\ 4x + 5 \cdot \frac{120 + 4x}{5} = 0; \end{cases}

4x + 120 + 4x = 0

8x = -120

x = -15

y = \frac{120 + 4 \cdot (-15)}{5} = \frac{60}{5} = 12

Ответ: x = -15, y = 12.

б)

\begin{cases} \frac{6x}{5} + \frac{y}{15} = 2,3, \quad / \times 30 \\ \frac{x}{10} - \frac{2y}{3} = 1,2; \quad / \times 30 \end{cases}

\begin{cases} 36x + 2y = 69, \\ 3x - 20y = 36; \end{cases}

\begin{cases} 2y = 69 - 36x, \\ 3x - 20y = 36; \end{cases}

\begin{cases} y = \frac{69 - 36x}{2}, \\ 3x - 20 \cdot \frac{69 - 36x}{2} = 36; \end{cases}

3x - 10 \cdot (69 - 36x) = 36

3x - 690 + 360x = 36

363x = 726 \implies x = 2

y = \frac{69 - 36 \cdot 2}{2} = \frac{-3}{2} = -1,5

Ответ: x = 2, y = -1,5.

в)

\begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 2, \quad / \times 6 \\ \frac{3x}{2} - y = 6; \quad / \times 2 \end{cases}

\begin{cases} 3x - 2y = 12, \\ 3x - 2y = 12. \end{cases}

3x = 12 + 2y \implies x = \frac{12 + 2y}{3}

Ответ: система имеет бесконечно много решений y - любое число, $x = \frac{12 + 2y}{3}$ .

г)

\begin{cases} \frac{3x}{5} - 2y = 5, \quad / \times 5 \\ x - \frac{3y}{2} = 6,5; \quad / \times 2 \end{cases}

\begin{cases} 3x - 10y = 25, \\ 2x - 3y = 13; \end{cases}

\begin{cases} 10y = 3x - 25 \\ 2x - 3y = 13 \end{cases}

\begin{cases} y = 0,3x - 2,5, \\ 2x - 3 \cdot (0,3x - 2,5) = 13; \end{cases}

2x - 0,9x + 7,5 = 13

1,1x = 5,5 \implies x = 5

y = 0,3 \cdot 5 - 2,5 = -1

Ответ: x = 5, y = -1.

Подробное решение

Разбор пункта «а»

В уравнениях есть знаменатели 4, 5, 12 и 15. Первым делом мы от них избавимся:

1. Первое уравнение: НОК для 4 и 5 — это 20. Умножим всё на 20: $5y - 4x = 120$ . Отсюда выразим $5y = 120 + 4x$ .

2. Второе уравнение: НОК для 15 и 12 — это 60. Умножим всё на 60: $4x + 5y = 0$ .

3. Подстановка: Заметим, что во втором уравнении уже есть $5y$ . Просто подставим вместо него наше выражение $(120 + 4x)$ : $4x + (120 + 4x) = 0$ .

4. Решение: Складываем иксы: $8x + 120 = 0 \implies 8x = -120 \implies x = -15$ . Затем находим $y = (120 - 60)/5 = 12$ .

Разбор пункта «б»

1. Умножение: Умножаем оба уравнения на 30, чтобы убрать все знаменатели (5, 15, 10, 3).

2. Система: Получаем $36x + 2y = 69$ и $3x - 20y = 36$ . Из первого выражаем $2y = 69 - 36x$ , значит $y = (69 - 36x)/2$ .

3. Подстановка: $3x - 20 \cdot \frac{69 - 36x}{2} = 36 \implies 3x - 10(69 - 36x) = 36$ .

4. Раскрытие скобок: $3x - 690 + 360x = 36 \implies 363x = 726$ . Корень $x = 2$ .

5. Итог: $y = (69 - 72)/2 = -3/2 = -1,5$ .

Разбор пункта «в»

Это особый случай — неопределенная система:

1. После умножения первого уравнения на 6 и второго на 2 мы получаем систему из двух **одинаковых** уравнений: $3x - 2y = 12$ .

2. Это означает, что любая точка, лежащая на этой прямой, будет решением. Мы просто выражаем $x$ через $y$ : $x = (12 + 2y)/3$ .

Разбор пункта «г»

1. Избавляемся от дробей: умножаем первое на 5, второе на 2. Получаем $3x - 10y = 25$ и $2x - 3y = 13$ .

2. Выразим $10y = 3x - 25$ , тогда $y = 0,3x - 2,5$ .

3. Подставляем во второе: $2x - 3(0,3x - 2,5) = 13 \implies 2x - 0,9x + 7,5 = 13$ .

4. $1,1x = 5,5$ , значит $x = 5$ . Тогда $y = 0,3 \cdot 5 - 2,5 = -1$ .