При каких значениях c система уравнений не имеет решений?
Система не имеет решений, если левые части уравнений одинаковы, а правые — различны.
Ответ: при любом c, кроме 20.
Система линейных уравнений не имеет решений, если соответствующие прямые параллельны, но не совпадают. Это происходит, когда отношения коэффициентов при переменных равны, но не равны отношению свободных членов:
Для удобства анализа приведем первое уравнение системы к целочисленному виду. Общим знаменателем для 2 и 5 является число 10. Умножим всё первое уравнение на 10:
Теперь наша система выглядит следующим образом:
Мы видим, что левые части обоих уравнений абсолютно идентичны (5x + 2y). Это означает, что коэффициенты при переменных пропорциональны: 5/5 = 1 и 2/2 = 1.
Система не будет иметь решений, если эти две прямые будут параллельны. Параллельность сохраняется, пока правые части уравнений не равны друг другу.
Если мы возьмем c = 20, уравнения станут одинаковыми, и прямые совпадут (будет бесконечно много решений). Во всех остальных случаях, когда c не равно 20, мы получим противоречивое условие (одно и то же выражение равно разным числам), а значит, система не будет иметь ни одного решения.
