Главная / 7 класс / Алгебра Макарычев / Номер 1206

Номер 1206 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что сумма 13+23+⋯+9931^3 + 2^3 + \dots + 99^3 делится на 100.

Краткое решение

S=(13+993)+(23+983)+⋯+(493+513)+503S = (1^3 + 99^3) + (2^3 + 98^3) + \dots + (49^3 + 51^3) + 50^3
n3+m3=(n+m)(n2−nm+m2)n^3 + m^3 = (n + m)(n^2 - nm + m^2)
13+993=(1+99)(12−1⋅99+992)=100⋅k11^3 + 99^3 = (1 + 99)(1^2 - 1 \cdot 99 + 99^2) = 100 \cdot k_1
23+983=(2+98)(22−2⋅98+982)=100⋅k22^3 + 98^3 = (2 + 98)(2^2 - 2 \cdot 98 + 98^2) = 100 \cdot k_2
503=125000=100⋅125050^3 = 125000 = 100 \cdot 1250

Все слагаемые делятся на 100, значит и сумма делится на 100.

Подробное решение

📚 Теория: Сумма кубов

Для доказательства делимости используется формула суммы кубов:

a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

Если сумма оснований (a + b) делится на некоторое число, то и вся сумма кубов делится на это число.

Чтобы доказать делимость всей суммы на 100, сгруппируем слагаемые парами так, чтобы сумма их оснований была равна 100.

Разделим сумму на пары и отдельно стоящее среднее слагаемое:

S=(13+993)+(23+983)+⋯+(493+513)+503S = (1^3 + 99^3) + (2^3 + 98^3) + \dots + (49^3 + 51^3) + 50^3

Рассмотрим общую форму каждой скобки по формуле суммы кубов:

n3+(100−n)3=(n+100−n)(n2−n(100−n)+(100−n)2)n^3 + (100 - n)^3 = (n + 100 - n)(n^2 - n(100 - n) + (100 - n)^2)
n3+(100−n)3=100⋅(n2−100n+n2+10000−200n+n2)n^3 + (100 - n)^3 = 100 \cdot (n^2 - 100n + n^2 + 10000 - 200n + n^2)

Так как в каждой паре есть множитель 100, каждая пара делится на 100 без остатка.

Теперь проверим слагаемое 50 в кубе:

503=50⋅50⋅50=12500050^3 = 50 \cdot 50 \cdot 50 = 125000
125000:100=1250125000 : 100 = 1250

Число 125000 делится на 100. Таким образом, вся сумма представляет собой сумму чисел, каждое из которых кратно 100. Следовательно, и вся сумма делится на 100. Доказано.

💡 Похожие задачи

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...