Делится ли число на 81?
Пусть .
Сумма цифр числа :
Значит, число делится на 9.
Пусть , причём — целое число.
Сумма цифр каждого блока «111 111 111» равна 9, а таких блоков 9, значит сумма цифр числа равна , снова кратна 9. Поэтому число делится на 9.
Вывод:
Имеем , причём и 9, и делятся на 9. Значит, делится на .
Ответ: Да, делится.
Для решения этой задачи используется признак делимости на 9:
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Если число можно представить в виде , где делится на и делится на , то всё число делится на произведение .
Докажем делимость числа , состоящего из 81 единицы, на 81 поэтапно.
Сумма цифр числа равна . Так как 81 делится на 9, по признаку делимости само число делится на 9.
Разделим число на 9. Полученное число будет состоять из 9 блоков, каждый из которых представляет собой число из 9 единиц, разделенных нулями.
Однако более наглядно представить как сумму девяти слагаемых, каждое из которых является «репьюнитом» (числом из единиц) длины 9, умноженным на соответствующую степень 10.
Сумма цифр числа также равна 81 (так как оно состоит из 9 групп, сумма цифр в каждой из которых кратна 9, или просто содержит 81 единицу в разложении). Следовательно, тоже делится на 9.
Поскольку , где оба множителя кратны 9, исходное число кратно .
