В шестизначном числе первая цифра совпадает с четвёртой, вторая — с пятой и третья — с шестой. Докажите, что это число кратно .
Пусть — первые три цифры числа. Тогда шестизначное число имеет вид:
Что и требовалось доказать.
Любое многозначное число можно представить в виде суммы его разрядов. Например, .
Число 1001 обладает замечательным свойством: оно является произведением трех простых чисел:
Если один из множителей произведения делится на определенное число, то и все произведение делится на это число.
Для доказательства утверждения воспользуемся методом разложения числа по разрядам.
1. Представим шестизначное число в общем виде. Так как первая цифра совпадает с четвертой, вторая — с пятой, а третья — с шестой, число можно записать как , где — цифры от 0 до 9 (причем ).
2. Запишем разрядный состав этого числа:
3. Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными:
4. Заметим, что число является общим множителем для всех трех слагаемых. Вынесем его за скобки:
5. Выражение в скобках представляет собой трехзначное число . Разложим число на простые множители:
6. Таким образом, наше исходное число равно . Поскольку в разложении присутствуют множители 7, 11 и 13, число делится на каждое из них без остатка.
Утверждение доказано.
