Главная / 7 класс / Алгебра Макарычев / Номер 1210

Номер 1210 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Делится ли число 111...1⏟81 раз\underbrace{111...1}_{81 \text{ раз}} на 81?

Краткое решение

Пусть N=111...1⏟81 разN = \underbrace{111...1}_{81 \text{ раз}}.

Сумма цифр числа NN:

1+1+1+⋯+1⏟81 раз=81\underbrace{1 + 1 + 1 + \dots + 1}_{81 \text{ раз}} = 81

Значит, число NN делится на 9.

Пусть A=N9A = \frac{N}{9}, причём AA — целое число.

A=111 111 111⏟9 единиц 111 111 111⏟9 единиц … 111 111 111⏟9 единиц(9 раз).A = \underbrace{111\,111\,111}_{9 \text{ единиц}} \, \underbrace{111\,111\,111}_{9 \text{ единиц}} \, \dots \, \underbrace{111\,111\,111}_{9 \text{ единиц}} \quad (9 \text{ раз}).

Сумма цифр каждого блока «111 111 111» равна 9, а таких блоков 9, значит сумма цифр числа AA равна 9×9=819 \times 9 = 81, снова кратна 9. Поэтому число AA делится на 9.

Вывод:

Имеем N=9⋅AN = 9 \cdot A, причём и 9, и AA делятся на 9. Значит, NN делится на 9×9=819 \times 9 = 81.

Ответ: Да, делится.

Подробное решение

📚 Теория: Признаки делимости

Для решения этой задачи используется признак делимости на 9:

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Если число можно представить в виде n=a⋅bn = a \cdot b, где aa делится на kk и bb делится на mm, то всё число nn делится на произведение k⋅mk \cdot m.

Докажем делимость числа NN, состоящего из 81 единицы, на 81 поэтапно.

1. Проверка делимости на 9

Сумма цифр числа NN равна 1⋅81=811 \cdot 81 = 81. Так как 81 делится на 9, по признаку делимости само число NN делится на 9.

2. Анализ частного

Разделим число NN на 9. Полученное число AA будет состоять из 9 блоков, каждый из которых представляет собой число из 9 единиц, разделенных нулями.

A=11…1⏞819=012345679…012345679⏞81 разрядA = \frac{\overbrace{11\dots1}^{81}}{9} = \overbrace{012345679\dots012345679}^{81 \text{ разряд}}

Однако более наглядно представить AA как сумму девяти слагаемых, каждое из которых является «репьюнитом» (числом из единиц) длины 9, умноженным на соответствующую степень 10.

3. Делимость частного на 9

Сумма цифр числа AA также равна 81 (так как оно состоит из 9 групп, сумма цифр в каждой из которых кратна 9, или просто содержит 81 единицу в разложении). Следовательно, AA тоже делится на 9.

4. Итоговый вывод

Поскольку N=9⋅AN = 9 \cdot A, где оба множителя кратны 9, исходное число NN кратно 9⋅9=819 \cdot 9 = 81.

💡 Похожие задачи

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...