Номер 1218 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Найдите наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 станет квадратом, а после умножения на 3 — кубом натурального числа.

Краткое решение

Пусть $n = 2^{x} 3^{y}$ — наименьшее натуральное число с указанными свойствами.

Так как $2 n = 2^{x + 1} 3^{y}$ должно быть полным квадратом, показатели при всех простых должны быть чётными. Значит:

x + 1 чётно, y чётно .

Так как $3 n = 2^{x} 3^{y + 1}$ должно быть полным кубом, показатели при всех простых должны делиться на 3. Значит:

x делится на 3, y + 1 делится на 3.

Ищем наименьшие неотрицательные решения для $x$ и $y$ :

Для $x$ : $x + 1$ чётно, значит, $x$ нечётно; и одновременно $x$ кратно 3, тогда минимальное $x = 3$ .
Для $y$ : $y$ чётно и одновременно $y + 1$ кратно 3, тогда минимальное $y = 2$ .

n = 2^{3} \cdot 3^{2} = 8 \cdot 9 = 72.

Ответ: 72.

Подробное решение

📚 Теория: Свойства степеней в разложении

Для того чтобы число было полным квадратом, все показатели степеней его простых множителей должны быть чётными. Для того чтобы число было полным кубом, все показатели должны делиться на 3 без остатка.

Разложим искомое число $n$ на простые множители. Так как при умножении на 2 и 3 мы должны получать степени, логично предположить, что число состоит из двоек и троек: $n = 2^{x} \cdot 3^{y}$ .

1. Условие для квадрата

При умножении на 2 получаем $2 \cdot n = 2^{x + 1} \cdot 3^{y}$ . Это число будет квадратом, если показатели $x + 1$ и $y$ кратны 2.

2. Условие для куба

При умножении на 3 получаем $3 \cdot n = 2^{x} \cdot 3^{y + 1}$ . Это число будет кубом, если показатели $x$ и $y + 1$ кратны 3.

3. Поиск минимальных значений

Нам нужно найти минимальные натуральные $x$ и $y$ :

Переменная $x$ : должна быть нечётной (чтобы $x + 1$ делилось на 2) и делиться на 3. Наименьшее такое число — 3.
Переменная $y$ : должна быть чётной и такой, чтобы $y + 1$ делилось на 3. Наименьшее чётное число, удовлетворяющее условию — 2 ( $2 + 1 = 3$ ).

Вычисление результата:

n = 2^{3} \cdot 3^{2} = 8 \cdot 9 = 72

Проверка:

$72 \cdot 2 = 144 = 1 2^{2}$ — квадрат.
$72 \cdot 3 = 216 = 6^{3}$ — куб.

💡 Похожие задачи

Номер 1217