Номер 597 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

(Задача-исследование.)

Докажите, что всякая разность вида $\overline{abbb} - a$ делится на $37$ .

1) Проверьте верность этого утверждения для разности:

а) $2555 - 2$ ;

б) $7111 - 7$ ;

в) $8999 - 8$ ;

г) $9666 - 9$ .

2) Проведите доказательство высказанного утверждения.

Краткое решение

а) \ (2555 - 2) : 37 = 2553 : 37 = 69

б) \ (7111 - 7) : 37 = 7104 : 37 = 192

в) \ (8999 - 8) : 37 = 8991 : 37 = 243

г) \ (9666 - 9) : 37 = 9657 : 37 = 261

2) Доказательство:

\overline{abbb} - a = 1000a + 100b + 10b + b - a =

= 999a + 111b = 111 \cdot (9a + b) =

= 37 \cdot 3 \cdot (9a + b) - \text{делится на } 37

Подробное решение

📚 Теория: Разрядные слагаемые

Четырехзначное число $\overline{abcd}$ можно представить в виде суммы: $1000a + 100b + 10c + d$ . Если один из множителей произведения делится на число $n$ , то и все произведение делится на $n$ .

1) Проверка на частных примерах

Выполним вычитание и деление столбиком для каждого пункта:

а) $2555 - 2 = 2553$ . При делении $2553$ на $37$ получаем $69$ .
б) $7111 - 7 = 7104$ . При делении $7104$ на $37$ получаем $192$ .
в) $8999 - 8 = 8991$ . При делении $8991$ на $37$ получаем $243$ .
г) $9666 - 9 = 9657$ . При делении $9657$ на $37$ получаем $261$ .

2) Общее доказательство

Распишем число $\overline{abbb}$ по разрядам и упростим выражение:

\overline{abbb} - a = (1000a + 100b + 10b + b) - a = 999a + 111b

Вынесем общий множитель $111$ за скобки:

111(9a + b)

Заметим, что $111 = 37 \cdot 3$ . Подставим это в выражение:

37 \cdot 3 \cdot (9a + b)

Так как один из множителей равен $37$ , то всё выражение делится на $37$ без остатка. Что и требовалось доказать.