(Задача-исследование.)
Докажите, что всякая разность вида abbb−a делится на 37.
1) Проверьте верность этого утверждения для разности:
а) 2555−2;
б) 7111−7;
в) 8999−8;
г) 9666−9.
2) Проведите доказательство высказанного утверждения.
Краткое решение
1)
а) (2555−2):37=2553:37=69 б) (7111−7):37=7104:37=192 в) (8999−8):37=8991:37=243 г) (9666−9):37=9657:37=261 2) Доказательство:
abbb−a=1000a+100b+10b+b−a= =999a+111b=111⋅(9a+b)= =37⋅3⋅(9a+b)−делится на 37 Подробное решение
📚 Теория: Разрядные слагаемые
Четырехзначное число abcd можно представить в виде суммы: 1000a+100b+10c+d. Если один из множителей произведения делится на число n, то и все произведение делится на n.
1) Проверка на частных примерах
Выполним вычитание и деление столбиком для каждого пункта:
- а) 2555−2=2553. При делении 2553 на 37 получаем 69.
- б) 7111−7=7104. При делении 7104 на 37 получаем 192.
- в) 8999−8=8991. При делении 8991 на 37 получаем 243.
- г) 9666−9=9657. При делении 9657 на 37 получаем 261.
2) Общее доказательство
Распишем число abbb по разрядам и упростим выражение:
abbb−a=(1000a+100b+10b+b)−a=999a+111b Вынесем общий множитель 111 за скобки:
111(9a+b) Заметим, что 111=37⋅3. Подставим это в выражение:
37⋅3⋅(9a+b) Так как один из множителей равен 37, то всё выражение делится на 37 без остатка. Что и требовалось доказать.
