Номер 607 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что:

а) сумма двух последовательных нечётных чисел кратна $4$ ;

б) сумма четырёх последовательных нечётных чисел кратна $8$ .

Краткое решение

а) Пусть $2n + 1$ — первое нечетное число,

$2n + 3$ — второе нечетное число.

(2n + 1) + (2n + 3) =

= 2n + 1 + 2n + 3 = 4n + 4 =

= 4(n + 1) - \text{кратна } 4.

Что и требовалось доказать.

б) Пусть $2n + 1$ — первое нечетное число,

$2n + 3$ — второе нечетное число,

$2n + 5$ — третье нечетное число,

$2n + 7$ — четвертое нечетное число.

(2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) + (2n + 7) =

= 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 + 2n + 7 =

= 8n + 16 = 8(n + 2) - \text{кратна } 8.

Что и требовалось доказать.

Подробное решение

📚 Теория: Математическая модель

Любое нечётное число можно представить в виде $2n + 1$ , где $n$ — целое число. Разность между соседними нечётными числами всегда равна $2$ , поэтому последовательность имеет вид: $2n + 1, \ 2n + 3, \ 2n + 5$ и т. д.

Доказательство пункта а)

Для доказательства кратности суммы $4$ -м представим последовательные нечётные числа через общую переменную:

Первое число: $2n + 1$ .
Второе число (следующее): $(2n + 1) + 2 = 2n + 3$ .

Найдём их сумму, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

(2n + 1) + (2n + 3) = 4n + 4

Вынесем общий множитель за скобки:

4 \cdot (n + 1)

Так как один из множителей в произведении равен $4$ , то всё выражение делится на $4$ без остатка для любого целого $n$ .

Доказательство пункта б)

Запишем сумму четырёх идущих подряд нечётных чисел:

S = (2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) + (2n + 7)

После раскрытия скобок и суммирования всех $n$ и чисел:

S = 8n + 16

Преобразуем выражение, вынеся $8$ :

S = 8 \cdot (n + 2)

Полученный результат наглядно показывает наличие множителя $8$ , что подтверждает кратность суммы числу $8$ .