Номер 615 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Для доказательства того, что разность многочленов всегда положительна, выполним следующие действия:

1. Составим разность выражений:
   Запишем оба многочлена и поставим между ними знак минус, заключив второй многочлен в скобки:
   $(0,7x^4+0,2x^2-5)-(-0,3x^4+\frac{1}{5}{x}^2-8)$
2. Раскроем скобки:
   Заметим, что дробь $\frac{1}{5}$ равна $0,2$. При раскрытии скобок, перед которыми стоит знак «минус», знаки всех слагаемых внутри меняются на противоположные:
   $0,7x^4+0,2x^2-5+0,3x^4-0,2x^2+8$
3. Приведем подобные слагаемые:
   • Слагаемые с $x^4$: $0,7x^4+0,3x^4=1,0x^4=x^4$
   • Слагаемые с $x^2$: $0,2x^2-0,2x^2=0$ (взаимно уничтожаются)
   • Свободные числа: $-5+8=3$
   В итоге получаем упрощенное выражение: $x^4+3$.
4. Обоснование знака:
   Так как переменная $x$ возведена в четвертую (четную) степень, то значение $x^4$ не может быть отрицательным при любом $x$, то есть $x^4\ge 0$.
   Прибавляя к неотрицательному числу $3$, мы получаем:
   $x^4+3\ge 3$
   Поскольку $3$ — положительное число, то и всё выражение $x^4+3$ всегда принимает только положительные значения.

Что и требовалось доказать.