Номер 725 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Разложите на множители многочлен:

а) $m x + m y + 6 x + 6 y$
б) $9 x + a y + 9 y + a x$
в) $7 a - 7 b + an - bn$
г) $a x + a y - x - y$
д) $1 - b x - x + b$
е) $x y + 2 y - 2 x - 4$

Краткое решение

а)

m x + m y + 6 x + 6 y =

= (m x + m y) + (6 x + 6 y) =

= m (x + y) + 6 (x + y) =

= (x + y) (m + 6) .

б)

9 x + a y + 9 y + a x =

= (9 x + a x) + (a y + 9 y) =

= x (9 + a) + y (a + 9) =

= (a + 9) (x + y) .

в)

7 a - 7 b + an - bn =

= (7 a - 7 b) + (an - bn) =

= 7 (a - b) + n (a - b) =

= (a - b) (7 + n) .

г)

a x + a y - x - y =

= (a x + a y) - (x + y) =

= a (x + y) - 1 (x + y) =

= (x + y) (a - 1) .

д)

1 - b x - x + b =

= (1 + b) - (b x + x) =

= (1 + b) - x (b + 1) =

= (b + 1) (1 - x) .

е)

x y + 2 y - 2 x - 4 =

= y (x + 2) - 2 (x + 2) =

= (x + 2) (y - 2) .

Подробное решение

📚 Теория: Метод группировки

Для разложения многочлена на множители методом группировки нужно:

Объединить члены многочлена в группы, которые имеют общий множитель.
Вынести этот общий множитель за скобки в каждой группе.
Вынести полученный общий многочлен за скобки как новый общий множитель.

Рассмотрим подробное выполнение каждого пункта:

Пункт а)

Группируем слагаемые с переменной $m$ и с числом $6$ . В первой группе выносим $m$ , во второй — $6$ . Появляется общая скобка $(x + y)$ , которую мы выносим за скобки.

Пункт б)

Здесь удобнее сгруппировать $9 x$ с $a x$ , а $a y$ с $9 y$ . После вынесения $x$ и $y$ получаем общий множитель $(a + 9)$ .

Пункт г)

Важный момент: при группировке $- x - y$ мы выносим минус за скобки, что меняет знаки внутри на плюс: $- (x + y)$ . Это позволяет увидеть общий множитель с первой частью выражения.

Пункт д)

Переставим слагаемые для наглядности: $(1 + b) - (b x + x)$ . Из второй группы выносим $x$ . Общая скобка $(1 + b)$ (или $b + 1$ ) выносится за скобки.