Номер 731 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите тождество:

а) $a x - y + x - a y = (x - y) (a + 1);$
б) $a x - 2 b y + a y - 2 b x = (a - 2 b) (x + y) .$

Краткое решение

а)

a x - y + x - a y =

= (a x + x) - (a y + y) =

= x (a + 1) - y (a + 1) =

= (a + 1) (x - y) .

б)

a x - 2 b y + a y - 2 b x =

= (a x + a y) - (2 b x + 2 b y) =

= a (x + y) - 2 b (x + y) =

= (x + y) (a - 2 b) .

Подробное решение

📚 Теория: Доказательство тождеств

Чтобы доказать тождество, нужно преобразовать левую часть выражения и убедиться, что она в точности совпадает с правой частью (или наоборот). Основной инструмент здесь — разложение на множители.

Докажем тождества, преобразуя левые части выражений методом группировки:

Пункт а)

В левой части $a x - y + x - a y$ сгруппируем слагаемые с $x$ и слагаемые с $y$ : $(a x + x) + (- y - a y)$ . Вынесем $x$ из первой пары и $- y$ из второй: $x (a + 1) - y (1 + a)$ . Общий множитель $(a + 1)$ выносим вперед: $(a + 1) (x - y)$ . Мы получили правую часть тождества. Доказано.

Пункт б)

Группируем $a x$ с $a y$ и $- 2 b y$ с $- 2 b x$ : $(a x + a y) - (2 b x + 2 b y)$ . Выносим $a$ и $- 2 b$ : $a (x + y) - 2 b (x + y)$ . После вынесения скобки $(x + y)$ получаем $(x + y) (a - 2 b)$ , что соответствует правой части. Доказано.