Номер 729 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Найдите значение выражения:

а) $p^{2} q^{2} + pq - q^{3} - p^{3}$ при $p = 0, 5$ и $q = - 0, 5$ ;
б) $3 x^{3} - 2 y^{3} - 6 x^{2} y^{2} + x y$ при $x = \frac{2}{3}$ и $y = \frac{1}{2}$ .

Краткое решение

а)

p^{2} q^{2} + pq - q^{3} - p^{3} =

= (p^{2} q^{2} - q^{3}) + (pq - p^{3}) =

= q^{2} (p^{2} - q) - p (p^{2} - q) =

= (p^{2} - q) (q^{2} - p) .

При $p = 0, 5$ , $q = - 0, 5$ :

(0, 5^{2} - (- 0, 5)) \cdot ((- 0, 5)^{2} - 0, 5) =

= (0, 25 + 0, 5) \cdot (0, 25 - 0, 5) =

= 0, 75 \cdot (- 0, 25) = - 0, 1875.

б)

3 x^{3} - 2 y^{3} - 6 x^{2} y^{2} + x y =

= (3 x^{3} - 6 x^{2} y^{2}) + (x y - 2 y^{3}) =

= 3 x^{2} (x - 2 y^{2}) + y (x - 2 y^{2}) =

= (x - 2 y^{2}) (3 x^{2} + y) .

При $x = \frac{2}{3}$ , $y = \frac{1}{2}$ :

x - 2 y^{2} = \frac{2}{3} - 2 \cdot (\frac{1}{2})^{2} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6};

3 x^{2} + y = 3 \cdot (\frac{2}{3})^{2} + \frac{1}{2} = \frac{4}{3} + \frac{1}{2} = \frac{11}{6};

\frac{1}{6} \cdot \frac{11}{6} = \frac{11}{36} .

Подробное решение

📚 Теория: Рациональные вычисления

При нахождении значения сложного выражения сначала попробуйте разложить его на множители. Умножать результаты в скобках гораздо легче, чем возводить в степени и складывать каждое слагаемое по отдельности.

Чтобы решить это задание, мы используем метод группировки для упрощения выражений:

Пункт а)

Сгруппируем слагаемые так, чтобы вынести общие части: из $p^{2} q^{2} - q^{3}$ выносим $q^{2}$ , а из $pq - p^{3}$ выносим $- p$ . После этого получаем общую скобку $(p^{2} - q)$ . Подставив числа, мы видим, что выражение сводится к простому умножению десятичных дробей.

Пункт б)

Группируем $3 x^{3}$ с $- 6 x^{2} y^{2}$ и $x y$ с $- 2 y^{3}$ . В первой группе выносим $3 x^{2}$ , во второй — $y$ . Общая часть $(x - 2 y^{2})$ значительно упрощает расчет с обыкновенными дробями.