Разложите на множители многочлен:
- а) x2y+x+xy2+y+2xy+2;
- б) x2−xy+x−xy2+y3−y2.
Краткое решение
а)(x2y+xy2+2xy)+(x+y+2)=
=xy(x+y+2)+1⋅(x+y+2)=
=(x+y+2)(xy+1).
б)(x2−xy+x)−(xy2−y3+y2)=
=x(x−y+1)−y2(x−y+1)=
=(x−y+1)(x−y2).
Подробное решение
📚 Теория: Группировка по три слагаемых
Когда в выражении много слагаемых (например, шесть), их часто удобно разбивать на две группы по три. Главный критерий правильной группировки — получение одинакового многочлена в скобках после вынесения общего множителя из каждой группы.
Подробный ход решения
Разбор пункта а)
Нам дано выражение из шести членов: x2y+x+xy2+y+2xy+2.
- Анализ и группировка: Заметим, что слагаемые x2y, xy2 и 2xy содержат общий множитель xy. Сгруппируем их вместе, а оставшиеся три члена — отдельно:
(x2y+xy2+2xy)+(x+y+2)
- Вынесение множителей: Из первой скобки вынесем xy. Вторую скобку оставим без изменений (но помним, что перед ней стоит невидимый множитель 1):
xy(x+y+2)+1(x+y+2)
- Общий множитель-скобка: Теперь мы видим, что выражение (x+y+2) является общим для обеих частей. Выносим его за скобки:
(x+y+2)(xy+1)
Разбор пункта б)
Выражение: x2−xy+x−xy2+y3−y2.
- Выбор пар: Попробуем сгруппировать первые три члена и последние три. В первой группе общим будет x, во второй — y2:
(x2−xy+x)+(−xy2+y3−y2)
- Вынесение со сменой знака: Из первой группы выносим x. Из второй группы вынесем −y2, чтобы знаки внутри скобки поменялись и стали такими же, как в первой группе:
x(x−y+1)−y2(x−y+1)
- Завершение: Выносим общий многочлен (x−y+1):
(x−y+1)(x−y2)
