Номер 729 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Найдите значение выражения:

а) $p^2q^2 + pq - q^3 - p^3$ при $p = 0,5$ и $q = -0,5$ ;
б) $3x^3 - 2y^3 - 6x^2y^2 + xy$ при $x = \frac{2}{3}$ и $y = \frac{1}{2}$ .

Краткое решение

а)

p^2q^2 + pq - q^3 - p^3 =

= (p^2q^2 - q^3) + (pq - p^3) =

= q^2(p^2 - q) - p(p^2 - q) =

= (p^2 - q)(q^2 - p).

При $p = 0,5$ , $q = -0,5$ :

(0,5^2 - (-0,5)) \cdot ((-0,5)^2 - 0,5) =

= (0,25 + 0,5) \cdot (0,25 - 0,5) =

= 0,75 \cdot (-0,25) = -0,1875.

б)

3x^3 - 2y^3 - 6x^2y^2 + xy =

= (3x^3 - 6x^2y^2) + (xy - 2y^3) =

= 3x^2(x - 2y^2) + y(x - 2y^2) =

= (x - 2y^2)(3x^2 + y).

При $x = \frac{2}{3}$ , $y = \frac{1}{2}$ :

x - 2y^2 = \frac{2}{3} - 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6};

3x^2 + y = 3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \frac{1}{2} = \frac{4}{3} + \frac{1}{2} = \frac{11}{6};

\frac{1}{6} \cdot \frac{11}{6} = \frac{11}{36}.

Подробное решение

📚 Теория: Рациональные вычисления

При нахождении значения сложного выражения сначала попробуйте разложить его на множители. Умножать результаты в скобках гораздо легче, чем возводить в степени и складывать каждое слагаемое по отдельности.

Чтобы решить это задание, мы используем метод группировки для упрощения выражений:

Пункт а)

Сгруппируем слагаемые так, чтобы вынести общие части: из $p^2q^2 - q^3$ выносим $q^2$ , а из $pq - p^3$ выносим $-p$ . После этого получаем общую скобку $(p^2 - q)$ . Подставив числа, мы видим, что выражение сводится к простому умножению десятичных дробей.

Пункт б)

Группируем $3x^3$ с $-6x^2y^2$ и $xy$ с $-2y^3$ . В первой группе выносим $3x^2$ , во второй — $y$ . Общая часть $(x - 2y^2)$ значительно упрощает расчет с обыкновенными дробями.