Докажите, что при любом значении x разность многочленов 143x4−81x3−141x2+52x+75 и 0,75x4−0,125x3−2,25x2+0,4x−73 принимает положительное значение.
Краткое решение
(47x4−81x3−45x2+52x+75)−(0,75x4−0,125x3−2,25x2+0,4x−73)= =1,75x4−0,125x3−1,25x2+0,4x+75−0,75x4+0,125x3+2,25x2−0,4x+73= =(1,75x4−0,75x4)+(−0,125x3+0,125x3)+(−1,25x2+2,25x2)+(0,4x−0,4x)+(75+73)= =(1,75−0,75)x4+(−0,125+0,125)x3+(−1,25+2,25)x2+(0,4−0,4)x+(75+73)= =x4+x2+78= =x4+x2+171>0 при любом значении x, так как x4≥0 и x2≥0 при любом значении x, а 171>0. Что и требовалось доказать.
Подробное решение
📚 Теория: Свойства четной степени
Любое выражение в четной степени (x2,x4 и т.д.) всегда принимает неотрицательные значения (больше или равно нулю). Сумма неотрицательных величин и положительного числа всегда будет больше нуля.
Подробное решение
Для доказательства составим разность двух указанных многочленов:
Шаг 1: Приведение к десятичным дробям
Для удобства вычислений переведем обыкновенные дроби первого многочлена в десятичные:
- 143=1,75;
- 81=0,125;
- 141=1,25;
- 52=0,4.
Шаг 2: Раскрытие скобок и группировка
Вычитая второй многочлен, мы меняем знаки всех его слагаемых. После этого группируем члены с одинаковыми степенями x:
- Слагаемые с x3 и x взаимно уничтожаются, так как их коэффициенты в сумме дают ноль.
- Разность коэффициентов при x4 дает 1.
- Разность коэффициентов при x2 дает 1.
Шаг 3: Логический вывод
В результате упрощения получаем выражение x4+x2+171. Поскольку четные степени x4 и x2 не могут быть меньше нуля, а свободный член положительный, всё выражение всегда будет больше нуля.
