Главная / 7 класс / Алгебра Макарычев / Номер 756

Номер 756 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что при любом значении xx разность многочленов 134x4−18x3−114x2+25x+571\frac{3}{4}x^4 - \frac{1}{8}x^3 - 1\frac{1}{4}x^2 + \frac{2}{5}x + \frac{5}{7} и 0,75x4−0,125x3−2,25x2+0,4x−370,75x^4 - 0,125x^3 - 2,25x^2 + 0,4x - \frac{3}{7} принимает положительное значение.

Краткое решение

(74x4−18x3−54x2+25x+57)−(0,75x4−0,125x3−2,25x2+0,4x−37)=(\frac{7}{4}x^4 - \frac{1}{8}x^3 - \frac{5}{4}x^2 + \frac{2}{5}x + \frac{5}{7}) - (0,75x^4 - 0,125x^3 - 2,25x^2 + 0,4x - \frac{3}{7}) =
=1,75x4−0,125x3−1,25x2+0,4x+57−0,75x4+0,125x3+2,25x2−0,4x+37== 1,75x^4 - 0,125x^3 - 1,25x^2 + 0,4x + \frac{5}{7} - 0,75x^4 + 0,125x^3 + 2,25x^2 - 0,4x + \frac{3}{7} =
=(1,75x4−0,75x4)+(−0,125x3+0,125x3)+(−1,25x2+2,25x2)+(0,4x−0,4x)+(57+37)== (1,75x^4 - 0,75x^4) + (-0,125x^3 + 0,125x^3) + (-1,25x^2 + 2,25x^2) + (0,4x - 0,4x) + (\frac{5}{7} + \frac{3}{7}) =
=(1,75−0,75)x4+(−0,125+0,125)x3+(−1,25+2,25)x2+(0,4−0,4)x+(57+37)== (1,75 - 0,75)x^4 + (-0,125 + 0,125)x^3 + (-1,25 + 2,25)x^2 + (0,4 - 0,4)x + (\frac{5}{7} + \frac{3}{7}) =
=x4+x2+87== x^4 + x^2 + \frac{8}{7} =
=x4+x2+117>0 при любом значении x, так как x4≥0 и x2≥0 при любом значении x, а 117>0.= x^4 + x^2 + 1\frac{1}{7} > 0 \text{ при любом значении } x, \text{ так как } x^4 \ge 0 \text{ и } x^2 \ge 0 \text{ при любом значении } x, \text{ а } 1\frac{1}{7} > 0.

Что и требовалось доказать.

Подробное решение

📚 Теория: Свойства четной степени

Любое выражение в четной степени (x2,x4x^2, x^4 и т.д.) всегда принимает неотрицательные значения (больше или равно нулю). Сумма неотрицательных величин и положительного числа всегда будет больше нуля.

Подробное решение

Для доказательства составим разность двух указанных многочленов:

Шаг 1: Приведение к десятичным дробям

Для удобства вычислений переведем обыкновенные дроби первого многочлена в десятичные:

  • 134=1,751\frac{3}{4} = 1,75;
  • 18=0,125\frac{1}{8} = 0,125;
  • 114=1,251\frac{1}{4} = 1,25;
  • 25=0,4\frac{2}{5} = 0,4.

Шаг 2: Раскрытие скобок и группировка

Вычитая второй многочлен, мы меняем знаки всех его слагаемых. После этого группируем члены с одинаковыми степенями xx:

  • Слагаемые с x3x^3 и xx взаимно уничтожаются, так как их коэффициенты в сумме дают ноль.
  • Разность коэффициентов при x4x^4 дает 11.
  • Разность коэффициентов при x2x^2 дает 11.

Шаг 3: Логический вывод

В результате упрощения получаем выражение x4+x2+117x^4 + x^2 + 1\frac{1}{7}. Поскольку четные степени x4x^4 и x2x^2 не могут быть меньше нуля, а свободный член положительный, всё выражение всегда будет больше нуля.

💡 Похожие номера

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...