Докажите, что при любом значении a сумма многочленов 1,6a5−131a4−3,4a3−a2−1 и −153a5−32a4+352a3 принимает отрицательное значение.
Краткое решение
(1,6a5−131a4−3,4a3−a2−1)+(−153a5−32a4+352a3)= =1,6a5−131a4−3,4a3−a2−1−1,6a5−32a4+3,4a3= =(1,6a5−1,6a5)+(−131−32)a4+(−3,4a3+3,4a3)−a2−1= =−2a4−a2−1. Так как a4≥0, a2≥0, то −2a4≤0 и −a2≤0. Сумма отрицательных чисел и −1 всегда отрицательна (<0).
Доказано.
Подробное решение
📚 Теория: Свойства степеней
Выражения в чётных степенях (a2,a4) всегда неотрицательны. Если перед ними стоит знак минус, они становятся неположительными (меньше или равны нулю). Прибавление отрицательного числа к таким величинам гарантирует отрицательный результат.
Подробное доказательство
Составим сумму двух заданных многочленов и упростим её, приведя подобные слагаемые:
1. Раскрытие скобок и приведение дробей
Переведем все коэффициенты в один вид (десятичные или обыкновенные дроби):
- 1,6=153, следовательно 1,6a5 и −153a5 взаимно уничтожаются.
- 3,4=352, следовательно −3,4a3 и +352a3 взаимно уничтожаются.
- Коэффициенты при a4: −131−32=−34−32=−36=−2.
2. Упрощенное выражение
После приведения подобных слагаемых получаем многочлен:
−2a4−a2−1 3. Логический вывод
Проанализируем знаки слагаемых при любом значении a:
- Поскольку a4 и a2 — чётные степени, они всегда ≥0.
- Умножение на −2 делает первое слагаемое неположительным: −2a4≤0.
- Второе слагаемое −a2 также ≤0.
- Свободный член −1 отрицателен.
Сумма двух неположительных величин и отрицательного числа всегда меньше нуля. Что и требовалось доказать.
