Главная / 7 класс / Алгебра Макарычев / Номер 757

Номер 757 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что при любом значении aa сумма многочленов 1,6a5−113a4−3,4a3−a2−11,6a^5 - 1\frac{1}{3}a^4 - 3,4a^3 - a^2 - 1 и −135a5−23a4+325a3-1\frac{3}{5}a^5 - \frac{2}{3}a^4 + 3\frac{2}{5}a^3 принимает отрицательное значение.

Краткое решение

(1,6a5−113a4−3,4a3−a2−1)+(−135a5−23a4+325a3)=(1,6a^5 - 1\frac{1}{3}a^4 - 3,4a^3 - a^2 - 1) + (-1\frac{3}{5}a^5 - \frac{2}{3}a^4 + 3\frac{2}{5}a^3) =
=1,6a5−113a4−3,4a3−a2−1−1,6a5−23a4+3,4a3== 1,6a^5 - 1\frac{1}{3}a^4 - 3,4a^3 - a^2 - 1 - 1,6a^5 - \frac{2}{3}a^4 + 3,4a^3 =
=(1,6a5−1,6a5)+(−113−23)a4+(−3,4a3+3,4a3)−a2−1== (1,6a^5 - 1,6a^5) + (-1\frac{1}{3} - \frac{2}{3})a^4 + (-3,4a^3 + 3,4a^3) - a^2 - 1 =
=−2a4−a2−1.= -2a^4 - a^2 - 1.

Так как a4≥0a^4 \ge 0, a2≥0a^2 \ge 0, то −2a4≤0-2a^4 \le 0 и −a2≤0-a^2 \le 0. Сумма отрицательных чисел и −1-1 всегда отрицательна (<0< 0).

Доказано.

Подробное решение

📚 Теория: Свойства степеней

Выражения в чётных степенях (a2,a4a^2, a^4) всегда неотрицательны. Если перед ними стоит знак минус, они становятся неположительными (меньше или равны нулю). Прибавление отрицательного числа к таким величинам гарантирует отрицательный результат.

Подробное доказательство

Составим сумму двух заданных многочленов и упростим её, приведя подобные слагаемые:

1. Раскрытие скобок и приведение дробей

Переведем все коэффициенты в один вид (десятичные или обыкновенные дроби):

  • 1,6=1351,6 = 1\frac{3}{5}, следовательно 1,6a51,6a^5 и −135a5-1\frac{3}{5}a^5 взаимно уничтожаются.
  • 3,4=3253,4 = 3\frac{2}{5}, следовательно −3,4a3-3,4a^3 и +325a3+3\frac{2}{5}a^3 взаимно уничтожаются.
  • Коэффициенты при a4a^4: −113−23=−43−23=−63=−2-1\frac{1}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{4}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{6}{3} = -2.

2. Упрощенное выражение

После приведения подобных слагаемых получаем многочлен:

−2a4−a2−1-2a^4 - a^2 - 1

3. Логический вывод

Проанализируем знаки слагаемых при любом значении aa:

  • Поскольку a4a^4 и a2a^2 — чётные степени, они всегда ≥0\ge 0.
  • Умножение на −2-2 делает первое слагаемое неположительным: −2a4≤0-2a^4 \le 0.
  • Второе слагаемое −a2-a^2 также ≤0\le 0.
  • Свободный член −1-1 отрицателен.

Сумма двух неположительных величин и отрицательного числа всегда меньше нуля. Что и требовалось доказать.

💡 Похожие номера

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...