Главная / 7 класс / Алгебра Макарычев / Номер 784

Номер 784 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что:

Краткое решение

а)

716+714=714(72+1)=7^{16} + 7^{14} = 7^{14}(7^2 + 1) =

=714⋅(49+1)=714⋅50= 7^{14} \cdot (49 + 1) = 7^{14} \cdot 50

— выражение содержит множитель 50, значит, делится на 50.

б)

531−529=529(52−1)=5^{31} - 5^{29} = 5^{29}(5^2 - 1) =

=529⋅(25−1)=529⋅24== 5^{29} \cdot (25 - 1) = 5^{29} \cdot 24 =
=(52⋅527)⋅(4⋅6)== (5^2 \cdot 5^{27}) \cdot (4 \cdot 6) =
=(25⋅4)⋅(527⋅6)== (25 \cdot 4) \cdot (5^{27} \cdot 6) =
=100⋅(527⋅6)= 100 \cdot (5^{27} \cdot 6)

— выражение содержит множитель 100, значит, делится на 100.

в)

259+517=(52)9+517=25^9 + 5^{17} = (5^2)^9 + 5^{17} =

=518+517=517(5+1)== 5^{18} + 5^{17} = 5^{17}(5 + 1) =
=517⋅6=516⋅5⋅6== 5^{17} \cdot 6 = 5^{16} \cdot 5 \cdot 6 =
=516⋅30= 5^{16} \cdot 30

— выражение содержит множитель 30, значит, делится на 30.

г)

2710−914=(33)10−(32)14=27^{10} - 9^{14} = (3^3)^{10} - (3^2)^{14} =

=330−328=328(32−1)== 3^{30} - 3^{28} = 3^{28}(3^2 - 1) =
=328(9−1)=328⋅8== 3^{28}(9 - 1) = 3^{28} \cdot 8 =
=327⋅3⋅8=327⋅24= 3^{27} \cdot 3 \cdot 8 = 3^{27} \cdot 24

— выражение содержит множитель 24, значит, делится на 24.

д)

1213−1212+1211=12^{13} - 12^{12} + 12^{11} =

=1211(122−12+1)== 12^{11}(12^2 - 12 + 1) =
=1211(144−12+1)== 12^{11}(144 - 12 + 1) =
=1211⋅133=1211⋅7⋅19= 12^{11} \cdot 133 = 12^{11} \cdot 7 \cdot 19

— выражение содержит множители 7 и 19, значит, делится и на 7, и на 19.

е)

119−118+117=11^9 - 11^8 + 11^7 =

=117(112−11+1)== 11^7(11^2 - 11 + 1) =
=117(121−11+1)== 11^7(121 - 11 + 1) =
=117⋅111=117⋅3⋅37= 11^7 \cdot 111 = 11^7 \cdot 3 \cdot 37

— выражение содержит множители 3 и 37, значит, делится на 3 и на 37.

Подробное решение

📚 Теория: Доказательство делимости

Чтобы доказать, что сумма или разность делится на определенное число, нужно превратить это выражение в произведение. Основной прием — вынесение за скобки степени с наименьшим показателем.

  • Если основания разные (например, 25 и 5), сначала приведите их к общему основанию.
  • Если после вынесения за скобки нужный множитель не появился сразу, попробуйте «забрать» один или два множителя из степени перед скобкой.

Максимально подробный разбор для каждого пункта

Пункт а): классическое вынесение

В сумме 716+7147^{16} + 7^{14} обе степени имеют одинаковое основание 7. Меньший показатель — 14. Выносим 7147^{14} за скобки. Помните: при делении степеней показатели вычитаются (16−14=216 - 14 = 2).

714⋅(72+1)=714⋅(49+1)=714⋅507^{14} \cdot (7^2 + 1) = 7^{14} \cdot (49 + 1) = 7^{14} \cdot 50

Мы получили произведение, где один из множителей равен 50. Это прямое доказательство делимости на 50.

Пункт б): как получить 100 из 24

После вынесения 5295^{29} мы получаем произведение 529⋅245^{29} \cdot 24. Число 24 не делится на 100. Что делать? Мы можем «одолжить» две пятерки из огромной степени 5295^{29}. Представим её как 527⋅525^{27} \cdot 5^2. Тогда:

527⋅25⋅24=527⋅(25⋅4⋅6)=527⋅100⋅65^{27} \cdot 25 \cdot 24 = 5^{27} \cdot (25 \cdot 4 \cdot 6) = 5^{27} \cdot 100 \cdot 6

Теперь в произведении есть 100. Задача решена.

Пункт в): работа с основанием 25

Числа 25 и 5 можно привести к одному основанию, так как 25=5225 = 5^2. Возведем в степень: (52)9=518(5^2)^9 = 5^{18}. Теперь выражение выглядит как 518+5175^{18} + 5^{17}. Повторяем прием из пункта а):

517⋅(51+1)=517⋅65^{17} \cdot (5^1 + 1) = 5^{17} \cdot 6

Чтобы получить 30, заберем одну пятерку: 516⋅5⋅6=516⋅305^{16} \cdot 5 \cdot 6 = 5^{16} \cdot 30.

Пункты д) и е): тройные выражения

Здесь принцип тот же, но в скобках остается три слагаемых. Считаем их очень внимательно:

  • Для д): в скобках 144−12+1=133144 - 12 + 1 = 133. Число 133 — это произведение 7⋅197 \cdot 19.
  • Для е): в скобках 121−11+1=111121 - 11 + 1 = 111. Число 111 — это произведение 3⋅373 \cdot 37.

Наличие этих простых множителей доказывает делимость на требуемые числа.

💡 Похожие номера

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...