Докажите, что значение выражения кратно при любом целом .
1) Разложим на множители:
2) Обоснование:
Выражение есть произведение двух последовательных целых чисел.
3) Вывод:
Среди двух последовательных чисел одно обязательно является чётным (делится на 2). Значит, и их произведение кратно 2. Доказано.
Произведение двух последовательных целых чисел всегда чётно. Это происходит потому, что в любой паре соседних чисел (например, 4 и 5 или 11 и 12) одно число обязательно чётное, а другое — нечётное. Произведение любого числа на чётное всегда даёт чётный результат.
Чтобы доказать делимость (кратность), нам нужно превратить разность в произведение. Для этого вынесем общий множитель за скобки:
Теперь перед нами произведение двух множителей: и .
Заметим, что числа и являются последовательными (соседними) целыми числами. Например:
В любой такой паре одно число будет чётным, а другое нечётным. Как мы знаем из курса математики 5-6 класса, если в произведении хотя бы один множитель делится на 2, то и всё произведение делится на 2.
Так как один из множителей в произведении гарантированно делится на 2, всё выражение кратно 2 при любом целом значении . Что и требовалось доказать.
