Номер 794 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Упростите выражение:

а) $(a^{2} - 7) (a + 2) - (2 a - 1) (a - 14)$ ;
б) $(2 - b) (1 + 2 b) + (1 + b) (b^{3} - 3 b)$ ;
в) $2 x^{2} - (x - 2 y) (2 x + y)$ ;
г) $(m - 3 n) (m + 2 n) - m (m - n)$ ;
д) $(a - 2 b) (b + 4 a) - 7 b (a + b)$ ;
е) $(p - q) (p + 3 q) - (p^{2} + 3 q^{2})$ .

Краткое решение

а)

(a^{2} - 7) (a + 2) - (2 a - 1) (a - 14) =

= a^{3} + 2 a^{2} - 7 a - 14 - (2 a^{2} - 28 a - a + 14) =

= a^{3} + 2 a^{2} - 7 a - 14 - 2 a^{2} + 29 a - 14 = a^{3} + 22 a - 28

б)

(2 - b) (1 + 2 b) + (1 + b) (b^{3} - 3 b) =

= 2 + 4 b - b - 2 b^{2} + b^{3} - 3 b + b^{4} - 3 b^{2} =

= b^{4} + b^{3} - 5 b^{2} + 2

в)

2 x^{2} - (x - 2 y) (2 x + y) =

= 2 x^{2} - (2 x^{2} + x y - 4 x y - 2 y^{2}) =

= 2 x^{2} - 2 x^{2} + 3 x y + 2 y^{2} = 3 x y + 2 y^{2}

г)

(m - 3 n) (m + 2 n) - m (m - n) =

= m^{2} + 2 mn - 3 mn - 6 n^{2} - m^{2} + mn = - 6 n^{2}

д)

(a - 2 b) (b + 4 a) - 7 b (a + b) =

= ab + 4 a^{2} - 2 b^{2} - 8 ab - 7 ab - 7 b^{2} =

= 4 a^{2} - 14 ab - 9 b^{2}

е)

(p - q) (p + 3 q) - (p^{2} + 3 q^{2}) =

= p^{2} + 3 pq - pq - 3 q^{2} - p^{2} - 3 q^{2} =

= 2 pq - 6 q^{2}

Подробное решение

⚠️ Важное правило: Минус перед скобкой

Если перед произведением скобок стоит знак «−», делайте решение в два этапа:
1. Перемножьте скобки, но оставьте результат в больших скобках.
2. Раскройте эти скобки, меняя знаки каждого слагаемого на противоположные.
Это самый надежный способ избежать ошибок в знаках!

Подробный разбор решения

Разбор пункта а): работа с минусом

Сначала перемножим первую пару: $a^{2} \cdot a + a^{2} \cdot 2 - 7 \cdot a - 7 \cdot 2 = a^{3} + 2 a^{2} - 7 a - 14$ .

Теперь вторая пара. Перед ней стоит минус, поэтому результат умножения пока держим в скобках:

- (2 a \cdot a - 2 a \cdot 14 - 1 \cdot a + 1 \cdot 14) = - (2 a^{2} - 28 a - a + 14)

Упростим внутри скобок: $- (2 a^{2} - 29 a + 14)$ . Раскрываем их:

- 2 a^{2} + 29 a - 14

Собираем всё вместе: $a^{3} + 2 a^{2} - 7 a - 14 - 2 a^{2} + 29 a - 14$ .
Слагаемые $2 a^{2}$ и $- 2 a^{2}$ сокращаются. Остаётся: $a^{3} + 22 a - 28$ .

Разбор пункта г): когда всё сокращается

Выполняем умножение первой пары: $m^{2} + 2 mn - 3 mn - 6 n^{2}$ .

Затем умножаем одночлен на скобку: $- m \cdot m + m \cdot n = - m^{2} + mn$ . (Тут тоже важно не забыть, что минус на минус даёт плюс!).

Приводим подобные: $m^{2}$ и $- m^{2}$ обнуляются. Считаем $mn$ : $2 mn - 3 mn + mn = 0$ .
Остается только $- 6 n^{2}$ . Весь пример упростился до одного слагаемого!