Номер 793 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что выражение тождественно равно некоторому двучлену:

а)

(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})

;

в)

(a + b) (a^{3} - a^{2} b + a b^{2} - b^{3})

;

б)

(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})

;

г)

(a - b) (a^{3} + a^{2} b + a b^{2} + b^{3})

Краткое решение

а) Раскроем скобки:

(x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) = x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + x^{2} y - x y^{2} + y^{3} = x^{3} + y^{3}

Получен двучлен $x^{3} + y^{3}$ . Доказано.

б) Раскроем скобки:

(x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) = x^{3} + x^{2} y + x y^{2} - x^{2} y - x y^{2} - y^{3} = x^{3} - y^{3}

Получен двучлен $x^{3} - y^{3}$ . Доказано.

в) Перемножим многочлены:

(a + b) (a^{3} - a^{2} b + a b^{2} - b^{3}) =

= a^{4} - a^{3} b + a^{2} b^{2} - a b^{3} + a^{3} b - a^{2} b^{2} + a b^{3} - b^{4} = a^{4} - b^{4}

Получен двучлен $a^{4} - b^{4}$ . Доказано.

г) Перемножим многочлены:

(a - b) (a^{3} + a^{2} b + a b^{2} + b^{3}) =

= a^{4} + a^{3} b + a^{2} b^{2} + a b^{3} - a^{3} b - a^{2} b^{2} - a b^{3} - b^{4} = a^{4} - b^{4}

Получен двучлен $a^{4} - b^{4}$ . Доказано.

Подробное решение

📚 Теория: Умножение многочленов

Чтобы перемножить две скобки, нужно каждое слагаемое из первой скобки по очереди умножить на каждое слагаемое из второй скобки. Полученные результаты складываются с учетом знаков.

Кстати, результаты пунктов а и б — это важные формулы «сумма кубов» и «разность кубов», которые скоро будут изучаться отдельно.

Подробный разбор решения

Основная цель этого задания — увидеть, как при перемножении длинных скобок промежуточные слагаемые «взаимно уничтожаются», превращаясь в ноль.

Шаг 1: Правило «фонтанчика»

Разберем пункт в): $(a + b) (a^{3} - a^{2} b + a b^{2} - b^{3})$ .

Сначала мы берем букву a и умножаем её на всё содержимое второй скобки:

$a \cdot a^{3} = a^{4}$
$a \cdot (- a^{2} b) = - a^{3} b$
$a \cdot a b^{2} = a^{2} b^{2}$
$a \cdot (- b^{3}) = - a b^{3}$

Затем берем букву b и делаем то же самое:

$b \cdot a^{3} = a^{3} b$
$b \cdot (- a^{2} b) = - a^{2} b^{2}$
$b \cdot a b^{2} = a b^{3}$
$b \cdot (- b^{3}) = - b^{4}$

Шаг 2: Приведение подобных

Теперь записываем всё в одну длинную строку и ищем пары, которые в сумме дают ноль:

a^{4} 0 - a^{3} b + a^{3} b 0 + a^{2} b^{2} - a^{2} b^{2} 0 - a b^{3} + a b^{3} - b^{4}

Как мы видим, все слагаемые в середине исчезли. Остались только первое ( $a^{4}$ ) и последнее ( $- b^{4}$ ). Результат — двучлен. Что и требовалось доказать.