Докажите, что если к целому числу прибавить его квадрат, то полученная сумма будет чётным числом.
Пусть — целое число.
1) Запишем сумму:
2) Разложим на множители:
3) Доказательство:
Числа и — последовательные. Одно из них всегда чётное. Произведение, содержащее чётный множитель, является чётным числом. Доказано.
Чётным называется целое число, которое делится на 2 без остатка. Любое произведение вида всегда чётно, так как одно из двух соседних целых чисел обязательно чётное.
Согласно условию задачи, нам нужно рассмотреть сумму целого числа и его квадрата. Обозначим целое число через . Тогда его квадрат — это . Их сумма записывается как:
Для того чтобы понять свойства этой суммы, преобразуем её в произведение. Мы видим, что в обоих слагаемых есть общая переменная . Вынесем её за скобки:
От перестановки слагаемых сумма не меняется, поэтому мы можем записать это как .
Выражение — это произведение числа на следующее за ним число .
В любом из возможных случаев один из множителей в скобках или перед ними будет делиться на 2. Следовательно, произведение всегда будет чётным числом.
