Выясните, имеет ли система решения и сколько:
а) {4y−x=12,3y+x=−3; в) {1,5x=1,−3x+2y=−2; д) {2x=11−2y,6y=22−4x; б) {y−3x=0,3y−x=6; г) {x+2y=3,y=−0,5x; е) {−x+2y=8,x+4y=10. Краткое решение
а) {4y−x=12,3y+x=−3; {4y=12+x,3y=−3−x; {y=41x+3,y=−31x−1. Угловые коэффициенты прямых различны, значит, система имеет единственное решение.
б) {y−3x=0,3y−x=6; {y=3x,3y=6+x; {y=3x,y=31x+2. Угловые коэффициенты прямых различны, значит, система имеет единственное решение.
в) {1,5x=1,−3x+2y=−2; {x=1,51,2y=−2+3x; {x=32 (вертикальная прямая),y=23x−1. Одна прямая вертикальная, другая — не вертикальная → пересекаются в одной точке → единственное решение.
г) {x+2y=3,y=−0,5x; {2y=3−x,y=−0,5x; {y=−0,5x+1,5,y=−0,5x; Прямые, которые являются графиками данных линейных функций параллельны, значит, они не пересекаются и данная система не имеет решений.
д) {2x=11−2y,6y=22−4x; {2y=−2x+11,y=622−4x; {y=−x+5,5,y=−32x+332. Угловые коэффициенты прямых различны, значит, система имеет единственное решение.
е) {−x+2y=8,x+4y=10. {2y=8+x,4y=10−x; {y=0,5x+4,y=−0,25x+2,5. Угловые коэффициенты прямых различны, значит, система имеет единственное решение.
Подробное решение
📚 Теория: Количество решений системы
Количество решений системы y=k1x+b1 и y=k2x+b2 зависит от коэффициентов:
1. Если k1=k2, прямые пересекаются — одно решение.
2. Если k1=k2 и b1=b2, прямые параллельны — решений нет.
3. Если k1=k2 и b1=b2, прямые совпадают — бесконечно много решений.
Как определить количество решений?
Чтобы понять, пересекаются ли прямые (графики уравнений), нам нужно привести каждое уравнение к виду y=kx+b. Число k (угловой коэффициент) отвечает за наклон прямой.
- Случай 1 (разные наклоны): Если в уравнениях разные коэффициенты k, прямые обязательно встретятся в какой-то одной точке. Это значит, что у системы будет ровно одно решение. Это мы видим в пунктах а, б, в, д, е.
- Случай 2 (параллельность): В пункте г) после преобразований мы получили коэффициенты k1=−0,5 и k2=−0,5. Так как наклоны одинаковые, а пересекают ось Oy они в разных местах (1,5 и 0), прямые идут параллельно и никогда не встретятся. Решений нет.
- Случай 3 (вертикальные прямые): В пункте в) одно из уравнений не содержит y. График x=2/3 — это вертикальная линия. Любая наклонная прямая пересечет вертикальную ровно один раз.
