Главная / 7 класс / Алгебра Макарычев / Номер 1078

Номер 1078 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Выясните, имеет ли система решения и сколько:

а) {4y−x=12,3y+x=−3;\text{а) } \begin{cases} 4y - x = 12, \\ 3y + x = -3; \end{cases} в) {1,5x=1,−3x+2y=−2;\text{в) } \begin{cases} 1,5x = 1, \\ -3x + 2y = -2; \end{cases} д) {2x=11−2y,6y=22−4x;\text{д) } \begin{cases} 2x = 11 - 2y, \\ 6y = 22 - 4x; \end{cases} б) {y−3x=0,3y−x=6;\text{б) } \begin{cases} y - 3x = 0, \\ 3y - x = 6; \end{cases} г) {x+2y=3,y=−0,5x;\text{г) } \begin{cases} x + 2y = 3, \\ y = -0,5x; \end{cases} е) {−x+2y=8,x+4y=10.\text{е) } \begin{cases} -x + 2y = 8, \\ x + 4y = 10. \end{cases}

Краткое решение

а) {4y−x=12,3y+x=−3;\text{а) } \begin{cases} 4y - x = 12, \\ 3y + x = -3; \end{cases}
{4y=12+x,3y=−3−x;\begin{cases} 4y = 12 + x, \\ 3y = -3 - x; \end{cases}
{y=14x+3,y=−13x−1.\begin{cases} y = \frac{1}{4}x + 3, \\ y = -\frac{1}{3}x - 1. \end{cases}

Угловые коэффициенты прямых различны, значит, система имеет единственное решение.

б) {y−3x=0,3y−x=6;\text{б) } \begin{cases} y - 3x = 0, \\ 3y - x = 6; \end{cases}
{y=3x,3y=6+x;\begin{cases} y = 3x, \\ 3y = 6 + x; \end{cases}
{y=3x,y=13x+2.\begin{cases} y = 3x, \\ y = \frac{1}{3}x + 2. \end{cases}

Угловые коэффициенты прямых различны, значит, система имеет единственное решение.

в) {1,5x=1,−3x+2y=−2;\text{в) } \begin{cases} 1,5x = 1, \\ -3x + 2y = -2; \end{cases}
{x=11,5,2y=−2+3x;\begin{cases} x = \frac{1}{1,5}, \\ 2y = -2 + 3x; \end{cases}
{x=23 (вертикальная прямая),y=32x−1.\begin{cases} x = \frac{2}{3} \text{ (вертикальная прямая),} \\ y = \frac{3}{2}x - 1. \end{cases}

Одна прямая вертикальная, другая — не вертикальная → пересекаются в одной точке → единственное решение.

г) {x+2y=3,y=−0,5x;\text{г) } \begin{cases} x + 2y = 3, \\ y = -0,5x; \end{cases}
{2y=3−x,y=−0,5x;\begin{cases} 2y = 3 - x, \\ y = -0,5x; \end{cases}
{y=−0,5x+1,5,y=−0,5x;\begin{cases} y = -0,5x + 1,5, \\ y = -0,5x; \end{cases}

Прямые, которые являются графиками данных линейных функций параллельны, значит, они не пересекаются и данная система не имеет решений.

д) {2x=11−2y,6y=22−4x;\text{д) } \begin{cases} 2x = 11 - 2y, \\ 6y = 22 - 4x; \end{cases}
{2y=−2x+11,y=22−4x6;\begin{cases} 2y = -2x + 11, \\ y = \frac{22 - 4x}{6}; \end{cases}
{y=−x+5,5,y=−23x+323.\begin{cases} y = -x + 5,5, \\ y = -\frac{2}{3}x + 3\frac{2}{3}. \end{cases}

Угловые коэффициенты прямых различны, значит, система имеет единственное решение.

е) {−x+2y=8,x+4y=10.\text{е) } \begin{cases} -x + 2y = 8, \\ x + 4y = 10. \end{cases}
{2y=8+x,4y=10−x;\begin{cases} 2y = 8 + x, \\ 4y = 10 - x; \end{cases}
{y=0,5x+4,y=−0,25x+2,5.\begin{cases} y = 0,5x + 4, \\ y = -0,25x + 2,5. \end{cases}

Угловые коэффициенты прямых различны, значит, система имеет единственное решение.

Подробное решение

📚 Теория: Количество решений системы

Количество решений системы y=k1x+b1y = k_1x + b_1 и y=k2x+b2y = k_2x + b_2 зависит от коэффициентов:
1. Если k1≠k2k_1 \neq k_2, прямые пересекаются — одно решение.
2. Если k1=k2k_1 = k_2 и b1≠b2b_1 \neq b_2, прямые параллельны — решений нет.
3. Если k1=k2k_1 = k_2 и b1=b2b_1 = b_2, прямые совпадают — бесконечно много решений.

Как определить количество решений?

Чтобы понять, пересекаются ли прямые (графики уравнений), нам нужно привести каждое уравнение к виду y=kx+by = kx + b. Число kk (угловой коэффициент) отвечает за наклон прямой.

  • Случай 1 (разные наклоны): Если в уравнениях разные коэффициенты kk, прямые обязательно встретятся в какой-то одной точке. Это значит, что у системы будет ровно одно решение. Это мы видим в пунктах а, б, в, д, е.
  • Случай 2 (параллельность): В пункте г) после преобразований мы получили коэффициенты k1=−0,5k_1 = -0,5 и k2=−0,5k_2 = -0,5. Так как наклоны одинаковые, а пересекают ось OyOy они в разных местах (1,51,5 и 00), прямые идут параллельно и никогда не встретятся. Решений нет.
  • Случай 3 (вертикальные прямые): В пункте в) одно из уравнений не содержит yy. График x=2/3x = 2/3 — это вертикальная линия. Любая наклонная прямая пересечет вертикальную ровно один раз.

💡 Соседние задачи

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...