Укажите какие-нибудь три решения системы уравнений:
а) {x−3y=5,3x−9y=15; б) {1,5y+x=−0,5,2x+3y=−1.
Краткое решение
а)
x−3y=5⟹x=5+3y
Подставим произвольные значения y:
y=0⟹x=5→(5;0)
y=1⟹x=8→(8;1)
y=−1⟹x=2→(2;−1)
Ответ: (5; 0), (8; 1), (2; -1).
б)
2x+3y=−1⟹2x=−1−3y
x=−0,5−1,5y
Подставим произвольные значения y:
y=1⟹x=−2→(−2;1)
y=−1⟹x=1→(1;−1)
y=3⟹x=−5→(−5;3)
Ответ: (-2; 1), (1; -1), (-5; 3).
Подробное решение
📚 Теория: Зависимые системы
Если уравнения системы пропорциональны (одно получается из другого умножением на число), то система имеет бесконечно много решений. В этом случае графики уравнений совпадают, и любая пара чисел, являющаяся решением одного уравнения, будет решением всей системы. Чтобы найти частные решения, нужно выразить одну переменную через другую и подставить любые значения.
Ход решения
В обоих пунктах уравнения системы являются зависимыми:
- В пункте а) второе уравнение 3x−9y=15 получается из первого x−3y=5 умножением на 3. Это значит, что они задают одну и ту же прямую. Мы выражаем x=5+3y и находим три любые точки на этой прямой.
- В пункте б) если первое уравнение x+1,5y=−0,5 умножить на 2, мы получим в точности второе уравнение 2x+3y=−1. Система имеет бесконечное множество решений. Для поиска решений мы выразили x через y и подставили удобные для счета значения.
