Номер 1078 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Выясните, имеет ли система решения и сколько:

а) {4 y - x = 12, 3 y + x = - 3;

в) {1, 5 x = 1, - 3 x + 2 y = - 2;

д) {2 x = 11 - 2 y, 6 y = 22 - 4 x;

б) {y - 3 x = 0, 3 y - x = 6;

г) {x + 2 y = 3, y = - 0, 5 x;

е) {- x + 2 y = 8, x + 4 y = 10.

Краткое решение

а) {4 y - x = 12, 3 y + x = - 3;

{4 y = 12 + x, 3 y = - 3 - x;

{y = \frac{1}{4} x + 3, y = - \frac{1}{3} x - 1.

Угловые коэффициенты прямых различны, значит, система имеет единственное решение.

б) {y - 3 x = 0, 3 y - x = 6;

{y = 3 x, 3 y = 6 + x;

{y = 3 x, y = \frac{1}{3} x + 2.

Угловые коэффициенты прямых различны, значит, система имеет единственное решение.

в) {1, 5 x = 1, - 3 x + 2 y = - 2;

{x = \frac{1}{1 , 5}, 2 y = - 2 + 3 x;

{x = \frac{2}{3} (вертикальная прямая), y = \frac{3}{2} x - 1.

Одна прямая вертикальная, другая — не вертикальная → пересекаются в одной точке → единственное решение.

г) {x + 2 y = 3, y = - 0, 5 x;

{2 y = 3 - x, y = - 0, 5 x;

{y = - 0, 5 x + 1, 5, y = - 0, 5 x;

Прямые, которые являются графиками данных линейных функций параллельны, значит, они не пересекаются и данная система не имеет решений.

д) {2 x = 11 - 2 y, 6 y = 22 - 4 x;

{2 y = - 2 x + 11, y = \frac{22 - 4 x}{6};

{y = - x + 5, 5, y = - \frac{2}{3} x + 3 \frac{2}{3} .

Угловые коэффициенты прямых различны, значит, система имеет единственное решение.

е) {- x + 2 y = 8, x + 4 y = 10.

{2 y = 8 + x, 4 y = 10 - x;

{y = 0, 5 x + 4, y = - 0, 25 x + 2, 5.

Угловые коэффициенты прямых различны, значит, система имеет единственное решение.

Подробное решение

📚 Теория: Количество решений системы

Количество решений системы $y = k_{1} x + b_{1}$ и $y = k_{2} x + b_{2}$ зависит от коэффициентов:
1. Если $k_{1} \neq = k_{2}$ , прямые пересекаются — одно решение.
2. Если $k_{1} = k_{2}$ и $b_{1} \neq = b_{2}$ , прямые параллельны — решений нет.
3. Если $k_{1} = k_{2}$ и $b_{1} = b_{2}$ , прямые совпадают — бесконечно много решений.

Как определить количество решений?

Чтобы понять, пересекаются ли прямые (графики уравнений), нам нужно привести каждое уравнение к виду $y = k x + b$ . Число $k$ (угловой коэффициент) отвечает за наклон прямой.

Случай 1 (разные наклоны): Если в уравнениях разные коэффициенты $k$ , прямые обязательно встретятся в какой-то одной точке. Это значит, что у системы будет ровно одно решение. Это мы видим в пунктах а, б, в, д, е.
Случай 2 (параллельность): В пункте г) после преобразований мы получили коэффициенты $k_{1} = - 0, 5$ и $k_{2} = - 0, 5$ . Так как наклоны одинаковые, а пересекают ось $O y$ они в разных местах ( $1, 5$ и $0$ ), прямые идут параллельно и никогда не встретятся. Решений нет.
Случай 3 (вертикальные прямые): В пункте в) одно из уравнений не содержит $y$ . График $x = 2/3$ — это вертикальная линия. Любая наклонная прямая пересечет вертикальную ровно один раз.

Номер 1078 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Краткое решение

Подробное решение

📚 Теория: Количество решений системы

Как определить количество решений?

💡 Соседние задачи

🕒 Вы недавно смотрели