Главная / 7 класс / Алгебра Макарычев / Номер 1090

Номер 1090 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Найдите координаты точки пересечения графиков уравнений, не выполняя построения:

Краткое решение

а)

{5x−4y=16x−2y=6\begin{cases} 5x - 4y = 16 \\ x - 2y = 6 \end{cases}
{5(6+2y)−4y=16x=6+2y\begin{cases} 5(6 + 2y) - 4y = 16 \\ x = 6 + 2y \end{cases}
30+10y−4y=1630 + 10y - 4y = 16
6y=16−306y = 16 - 30
6y=−14  ⟹  y=−2136y = -14 \implies y = -2\frac{1}{3}
x=6+2⋅(−213)=113x = 6 + 2 \cdot (-2\frac{1}{3}) = 1\frac{1}{3}

Ответ: (113;−213)(1\frac{1}{3}; -2\frac{1}{3}).

б)

{20x−15y=1003x−y=6\begin{cases} 20x - 15y = 100 \\ 3x - y = 6 \end{cases}
{y=3x−620x−15(3x−6)=100\begin{cases} y = 3x - 6 \\ 20x - 15(3x - 6) = 100 \end{cases}
20x−45x+90=10020x - 45x + 90 = 100
−25x=100−90-25x = 100 - 90
−25x=10  ⟹  x=−0,4-25x = 10 \implies x = -0,4
y=3⋅(−0,4)−6=−7,2y = 3 \cdot (-0,4) - 6 = -7,2

Ответ: (−0,4;−7,2)(-0,4; -7,2).

Подробное решение

📚 Теория: Поиск точки пересечения

Когда графики пересекаются, их общая точка принадлежит обоим уравнениям сразу. Чтобы найти её координаты без рисунка, нужно решить систему уравнений. Координата xx — это абсцисса, а yy — ордината точки пересечения.

Подробный разбор пункта «а»

Нам нужно найти общую точку для 5x−4y=165x - 4y = 16 и x−2y=6x - 2y = 6. Составим систему.

Шаг 1. Выбираем, что выразить

Во втором уравнении xx стоит почти один. Перенесем −2y-2y вправо, поменяв знак на плюс: x=6+2yx = 6 + 2y.

Шаг 2. Подстановка и "фонтанчик"

Теперь в первое уравнение вместо буквы xx подставим наше выражение в скобках:

5(6+2y)−4y=165(6 + 2y) - 4y = 16

Умножаем 5 на каждое число внутри («фонтанчиком»): 5⋅6=305 \cdot 6 = 30 и 5⋅2y=10y5 \cdot 2y = 10y. Получаем:

30+10y−4y=1630 + 10y - 4y = 16

Шаг 3. Решаем уравнение

Считаем игреки: 10y−4y=6y10y - 4y = 6y. Число 30 переносим вправо с минусом:

6y=16−30  ⟹  6y=−146y = 16 - 30 \implies 6y = -14

Делим -14 на 6. Получаем дробь y=−146=−73y = -\frac{14}{6} = -\frac{7}{3}. Выделяем целую часть: y=−213y = -2\frac{1}{3}.

Шаг 4. Находим икс

Подставим yy в нашу формулу: x=6+2⋅(−73)=183−143=43x = 6 + 2 \cdot (-\frac{7}{3}) = \frac{18}{3} - \frac{14}{3} = \frac{4}{3}. То есть x=113x = 1\frac{1}{3}.

Подробный разбор пункта «б»

Система: 20x−15y=10020x - 15y = 100 и 3x−y=63x - y = 6.

Шаг 1. Выражаем игрек

Из 3x−y=63x - y = 6 удобно выразить yy. Перенесем его вправо, а шестерку влево: y=3x−6y = 3x - 6.

Шаг 2. Подстановка

Вставляем в первое уравнение: 20x−15(3x−6)=10020x - 15(3x - 6) = 100. Раскрываем скобки: 20x−45x+90=10020x - 45x + 90 = 100.

Шаг 3. Ищем икс

Считаем иксы: −25x+90=100  ⟹  −25x=10-25x + 90 = 100 \implies -25x = 10. Делим 10 на -25: x=−0,4x = -0,4.

Шаг 4. Ищем игрек

y=3⋅(−0,4)−6=−1,2−6=−7,2y = 3 \cdot (-0,4) - 6 = -1,2 - 6 = -7,2.

💡 Соседние задачи

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...