Найдите координаты точки пересечения графиков уравнений, не выполняя построения:
- а) 5x−4y=16 и x−2y=6;
- б) 20x−15y=100 и 3x−y=6.
Краткое решение
а)
{5x−4y=16x−2y=6 {5(6+2y)−4y=16x=6+2y 30+10y−4y=16 6y=16−30 6y=−14⟹y=−231 x=6+2⋅(−231)=131 Ответ: (131;−231).
б)
{20x−15y=1003x−y=6 {y=3x−620x−15(3x−6)=100 20x−45x+90=100 −25x=100−90 −25x=10⟹x=−0,4 y=3⋅(−0,4)−6=−7,2 Ответ: (−0,4;−7,2).
Подробное решение
📚 Теория: Поиск точки пересечения
Когда графики пересекаются, их общая точка принадлежит обоим уравнениям сразу. Чтобы найти её координаты без рисунка, нужно решить систему уравнений. Координата x — это абсцисса, а y — ордината точки пересечения.
Подробный разбор пункта «а»
Нам нужно найти общую точку для 5x−4y=16 и x−2y=6. Составим систему.
Шаг 1. Выбираем, что выразить
Во втором уравнении x стоит почти один. Перенесем −2y вправо, поменяв знак на плюс: x=6+2y.
Шаг 2. Подстановка и "фонтанчик"
Теперь в первое уравнение вместо буквы x подставим наше выражение в скобках:
5(6+2y)−4y=16 Умножаем 5 на каждое число внутри («фонтанчиком»): 5⋅6=30 и 5⋅2y=10y. Получаем:
30+10y−4y=16 Шаг 3. Решаем уравнение
Считаем игреки: 10y−4y=6y. Число 30 переносим вправо с минусом:
6y=16−30⟹6y=−14 Делим -14 на 6. Получаем дробь y=−614=−37. Выделяем целую часть: y=−231.
Шаг 4. Находим икс
Подставим y в нашу формулу: x=6+2⋅(−37)=318−314=34. То есть x=131.
Подробный разбор пункта «б»
Система: 20x−15y=100 и 3x−y=6.
Шаг 1. Выражаем игрек
Из 3x−y=6 удобно выразить y. Перенесем его вправо, а шестерку влево: y=3x−6.
Шаг 2. Подстановка
Вставляем в первое уравнение: 20x−15(3x−6)=100. Раскрываем скобки: 20x−45x+90=100.
Шаг 3. Ищем икс
Считаем иксы: −25x+90=100⟹−25x=10. Делим 10 на -25: x=−0,4.
Шаг 4. Ищем игрек
y=3⋅(−0,4)−6=−1,2−6=−7,2.
