Главная / 7 класс / Алгебра Макарычев / Номер 1097

Номер 1097 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что все точки графика функции, заданной формулой y=x2−4x+5y = x^2 - 4x + 5, расположены в верхней полуплоскости.

Краткое решение

y=x2−4x+5=y = x^2 - 4x + 5 =
=(x2−4x+4)+1== (x^2 - 4x + 4) + 1 =
=(x−2)2+1.= (x - 2)^2 + 1.
(x−2)2≥0 при любых x,(x - 2)^2 \ge 0 \text{ при любых } x,
(x−2)2+1≥1>0.(x - 2)^2 + 1 \ge 1 > 0.

Следовательно, y > 0 при любых x. Доказано.

Подробное решение

Подробный разбор решения

Для доказательства нам нужно показать, что значение функции yy всегда больше нуля (так как верхняя полуплоскость — это область, где y>0y > 0).

Шаг 1. Выделение полного квадрата

Преобразуем выражение x2−4x+5x^2 - 4x + 5. Представим число 5 как сумму 4+14 + 1. Это позволит нам собрать часть выражения в формулу квадрата разности:

x2−4x+4+1=(x−2)2+1x^2 - 4x + 4 + 1 = (x - 2)^2 + 1

Шаг 2. Анализ полученного выражения

Квадрат любого числа всегда неотрицателен: (x−2)2≥0(x - 2)^2 \ge 0.

Если мы прибавим к неотрицательному числу единицу, то результат всегда будет больше или равен единице: (x−2)2+1≥1(x - 2)^2 + 1 \ge 1.

Шаг 3. Вывод

Так как y≥1y \ge 1, то значение yy всегда положительно (y>0y > 0). Это означает, что график функции никогда не опускается ниже оси OxOx и не пересекает её, то есть все его точки лежат в верхней полуплоскости.

💡 Соседние задачи

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...