📚 Теория: Системы с дробями
Если уравнения системы содержат дробные коэффициенты, первым шагом целесообразно избавиться от знаменателей, умножив обе части уравнения на их наименьший общий знаменатель. После этого систему решают стандартными методами: подстановкой или сложением.
Решим систему уравнений пошагово, следуя логике из представленных решений:
Пункт а)
Умножим первое уравнение на 15:
3x=15−y⇒3x+y=15 Применим метод сложения, умножив первое уравнение на 5:
{15x+5y=752x−5y=0 Сложим уравнения:
17x=75⇒x=1775=4177 Найдем y из второго уравнения:
5y=2x=2⋅1775=17150⇒y=1730=11713 Пункт б)
Умножим второе уравнение на 20:
5m+12n=20 Для исключения переменной m, умножим первое уравнение на −5, а преобразованное второе на 3:
{−15m−25n=−515m+36n=60 Сложим их:
11n=55⇒n=5 Подставим n во второе уравнение:
15m=60−36⋅5=60−180=−120⇒m=−8 Пункт в)
Умножим второе уравнение на 24:
4(2x+1)=3(9−5y)⇒8x+4=27−15y⇒8x+15y=23 Метод сложения: умножим первое уравнение на −2:
{−8x+6y=−28x+15y=23 Сложим:
21y=21⇒y=1 8x=23−15⋅1=8⇒x=1 Пункт г)
Преобразуем уравнения к стандартному виду:
3q−4p=−7 Умножим второе на 12:
3(1−3q)=4(4−2p)⇒3−9q=16−8p⇒−9q+8p=13 Умножим первое уравнение на 3 и сложим со вторым:
{9q−12p=−21−9q+8p=13⇒−4p=−8⇒p=2 Находим q:
9q=8⋅2−13=3⇒q=31 