Докажите, что остаток от деления простого числа на 30 есть простое число или единица.
Если r имеет общие делители с 30 (2, 3 или 5), то p не будет простым.
Выпишем числа от 1 до 29, не кратные 2, 3 и 5:
Все эти числа — либо единица, либо простые числа.
Что и требовалось доказать.
Любое натуральное число n можно представить в виде:
Если число простое и больше 5, оно не может делиться на 2, 3 или 5.
Представим простое число в виде , где остаток может принимать значения от 0 до 29.
1. Если , то при делении на 30 остаток равен самому числу (2, 3 или 5), что является простым числом.
2. Рассмотрим . Так как 30 делится на 2, 3 и 5, остаток не может делиться ни на одно из этих чисел. Если бы делилось, например, на 2, то и всё число делилось бы на 2, что невозможно для простого числа больше 2.
3. Выпишем все натуральные числа в интервале , которые не кратны 2, 3 и 5:
Все числа в этом списке — это либо 1, либо простые числа. Таким образом, любое простое число при делении на 30 дает в остатке либо 1, либо простое число. Доказано.
