Номер 1221 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Что больше: $\frac{1 0 ^{10} + 1}{1 0 ^{11} + 1}$ или $\frac{1 0 ^{11} + 1}{1 0 ^{12} + 1}$ ?

Краткое решение

Пусть $a = 1 0^{10}$ . Тогда:

1) Первая дробь:

\frac{1 0 ^{10} + 1}{1 0 ^{11} + 1} = \frac{1 0 ^{10} + 1}{10 \cdot 1 0 ^{10} + 1} = \frac{a + 1}{10 a + 1}

Приведем к знаменателю второй дроби, умножив на $100 a + 1$ :

\frac{( a + 1 ) ( 100 a + 1 )}{( 10 a + 1 ) ( 100 a + 1 )} = \frac{100 a ^{2} + a + 100 a + 1}{( 10 a + 1 ) ( 100 a + 1 )} = \frac{100 a ^{2} + 101 a + 1}{( 10 a + 1 ) ( 100 a + 1 )}

2) Вторая дробь:

\frac{1 0 ^{11} + 1}{1 0 ^{12} + 1} = \frac{10 \cdot 1 0 ^{10} + 1}{1 0 ^{2} \cdot 1 0 ^{10} + 1} = \frac{10 a + 1}{100 a + 1}

Приведем к общему знаменателю, умножив на $10 a + 1$ :

\frac{( 10 a + 1 ) ( 10 a + 1 )}{( 100 a + 1 ) ( 10 a + 1 )} = \frac{( 10 a + 1 ) ^{2}}{( 10 a + 1 ) ( 100 a + 1 )} = \frac{100 a ^{2} + 20 a + 1}{( 10 a + 1 ) ( 100 a + 1 )}

3) Сравним числители:

100 a^{2} + 101 a + 1 > 100 a^{2} + 20 a + 1

Следовательно:

\frac{1 0 ^{10} + 1}{1 0 ^{11} + 1} > \frac{1 0 ^{11} + 1}{1 0 ^{12} + 1}

Ответ: первая дробь больше.

Подробное решение

📚 Теория: Сравнение сложных дробей

Для сравнения дробей с большими степенями удобно использовать метод замены переменной. Это позволяет перейти от огромных чисел к алгебраическим выражениям, которые легче привести к общему знаменателю и сравнить.

Для сравнения этих выражений введем вспомогательную переменную $a = 1 0^{10}$ .

1. Преобразование дробей

Выразим обе дроби через $a$ :

Первая дробь: $\frac{a + 1}{10 a + 1}$ .
Вторая дробь: $\frac{10 a + 1}{100 a + 1}$ (так как $1 0^{12} = 1 0^{2} \cdot 1 0^{10}$ ).

2. Приведение к общему знаменателю

Чтобы сравнить дроби, умножим числитель первой на знаменатель второй, и наоборот:

Для первой: $(a + 1) (100 a + 1) = 100 a^{2} + 101 a + 1$ .
Для второй: $(10 a + 1) (10 a + 1) = 100 a^{2} + 20 a + 1$ .

3. Сравнение результатов

Сравнивая полученные многочлены, видим, что при положительном $a$ первое выражение всегда больше второго за счет коэффициента при $a$ ( $101 > 20$ ).

Вывод: значение первой дроби больше.

💡 Похожие задачи

Номер 1219