Номер 1237 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Решите систему уравнений:

а) $⎩ ⎨ ⎧ x - y = - 1, y - z = - 1, z + x = 8;$

б) $⎩ ⎨ ⎧ x + y = - 3, y + z = 6, z + x = 1;$

в) $⎩ ⎨ ⎧ x - y + 2 z = 1, x - y - z = - 2, 2 x - y + z = 1.$

Краткое решение

а) Решение:

⎩ ⎨ ⎧ x = y - 1 z = y + 1 (y + 1) + (y - 1) = 8

$y + 1 + y - 1 = 8 \Rightarrow 2 y = 8 \Rightarrow y = 4$ .

$x = 4 - 1 = 3$ ; $z = 4 + 1 = 5$ .

Ответ: x = 3, y = 4, z = 5.

б) Решение:

⎩ ⎨ ⎧ x = - y - 3 z = - y + 6 (- y + 6) + (- y - 3) = 1

$- y + 6 - y - 3 = 1 \Rightarrow - 2 y + 3 = 1 \Rightarrow - 2 y = - 2 \Rightarrow y = 1$ .

$x = - 1 - 3 = - 4$ ; $z = - 1 + 6 = 5$ .

Ответ: x = -4, y = 1, z = 5.

в) Решение:

⎩ ⎨ ⎧ x - y = 1 - 2 z 1 - 2 z - z = - 2 2 x - y + z = 1

$- 3 z = - 3 \Rightarrow z = 1$ .

Подставим $z = 1$ :

⎩ ⎨ ⎧ x - y = - 1 z = 1 2 x - y = 0 \Rightarrow ⎩ ⎨ ⎧ y = x + 1 z = 1 2 x - (x + 1) = 0

$2 x - x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ ; $y = 1 + 1 = 2$ .

Ответ: x = 1, y = 2, z = 1.

Подробное решение

📚 Теория: Метод подстановки в системах

Для решения систем с тремя переменными удобно выразить две переменные через третью из первых двух уравнений и подставить их в последнее. Это сводит систему к одному уравнению с одной неизвестной.

Рассмотрим пошаговое выполнение подстановок для каждой системы.

Решение системы а)

Используем метод выражения переменных через $y$ :

Из первого уравнения: $x = y - 1$ .
Из второго уравнения: $z = y + 1$ .
Подставляем в третье: $(y + 1) + (y - 1) = 8 \Rightarrow 2 y = 8 \Rightarrow y = 4$ .

Решение системы б)

Аналогично выражаем $x$ и $z$ через $y$ :

Из первого: $x = - y - 3$ .
Из второго: $z = - y + 6$ .
Подставляем в третье: $(- y + 6) + (- y - 3) = 1 \Rightarrow - 2 y + 3 = 1 \Rightarrow y = 1$ .

Решение системы в)

Здесь удобнее сначала найти $z$ , используя разность выражений $x - y$ :

Выражаем $x - y = 1 - 2 z$ из первого уравнения.
Подставляем во второе: $(1 - 2 z) - z = - 2 \Rightarrow - 3 z = - 3 \Rightarrow z = 1$ .
Подставляем $z = 1$ в оставшиеся уравнения и находим $x = 1$ и $y = 2$ .

💡 Похожие задачи

Номер 1236