Докажите, что уравнение не имеет целых решений.
Для значений множителей и подходят пары чисел:
(1, 30), (2, 15), (3, 10), (5, 6),
(-1, -30), (-2, -15), (-3, -10), (-5, -6).
Во всех перечисленных парах одно число чётное, другое нечётное, но не существует таких целых значений и , при которых их сумма и разность будут иметь разную чётность, так как чётность всегда будет одинаковая.
Следовательно, целых решений нет. Доказано.
Для любых целых чисел и выражения и имеют одинаковую чётность.
Для доказательства отсутствия целых решений проанализируем уравнение через разложение на множители и свойства чётности.
Используем формулу разности квадратов:
Число 30 можно разложить на два целых множителя разными способами (например, 2 и 15 или 5 и 6). Однако заметим важную закономерность: в любой паре целых чисел, дающих в произведении 30, одно число будет чётным, а другое — нечётным.
Разность и сумма всегда обладают одинаковой чётностью. Это легко доказать: если мы вычтем одно из другого , мы получим чётное число. Разность двух чисел может быть чётной только тогда, когда сами числа имеют одинаковую чётность.
Поскольку множители должны иметь разную чётность, чтобы в произведении дать 30, а целые числа и всегда дают множители одинаковой чётности, уравнение не имеет решений в целых числах. Доказано.
