Найдите все простые числа и , для которых .
Перепишем уравнение: .
1) Если , то . Пара (3; 2) — решение.
2) Если , то — нечётно. Тогда и — последовательные чётные числа, их произведение делится на 8. Значит, делится на 8, откуда делится на 4, т.е. чётно. Единственное чётное простое число — 2. При получаем .
Ответ: p = 3, q = 2.
Для решения уравнений в простых числах часто используется анализ чётности. Единственное чётное простое число — это 2. Все остальные простые числа нечётные. Также используется свойство делимости произведения последовательных чётных чисел на 8.
Проанализируем уравнение , где и — простые числа.
Если (наименьшее простое число):
Уравнение не имеет решений в целых числах.
Если :
Отсюда . Число 2 является простым, поэтому пара — решение.
Если — простое число больше 3, то оно обязательно нечётное. Представим уравнение в виде:
Поскольку нечётно, то числа и являются последовательными чётными числами. Произведение двух последовательных чётных чисел всегда делится на 8.
Так как левая часть делится на 8, то и правая часть должна делиться на 8:
Единственное простое число, которое делится на 2 — это само число 2. Значит, . Но при мы уже нашли значение .
Вывод: единственная пара простых чисел, удовлетворяющая условию — (3; 2).
