Номер 1228 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что разность между квадратом натурального числа, не кратного 3, и числом 1 кратна 3.

Краткое решение

Пусть натуральное число $n$ не делится на 3. При делении на 3 остаток может быть только 1 или 2.

1) Если при делении на 3 число $n$ даёт остаток 1, то $n = 3 k + 1$ . Тогда:

n^{2} - 1 = (3 k + 1)^{2} - 1 =

= 9 k^{2} + 6 k + 1 - 1 =

= 9 k^{2} + 6 k =

= 3 (3 k^{2} + 2 k) - кратно 3.

2) Если при делении на 3 число $n$ даёт остаток 2, то $n = 3 k + 2$ . Тогда:

n^{2} - 1 = (3 k + 2)^{2} - 1 =

= 9 k^{2} + 12 k + 4 - 1 =

= 9 k^{2} + 12 k + 3 =

= 3 (3 k^{2} + 4 k + 1) - кратно 3.

Что и требовалось доказать.

Подробное решение

📚 Теория: Остатки от деления на 3

Любое натуральное число $n$ при делении на 3 может давать остаток 0 (делится нацело), 1 или 2.

Если число не кратно 3, то его можно записать в виде $3 k + 1$ или $3 k + 2$ . Квадрат такого числа всегда дает остаток 1 при делении на 3, поэтому разность $n^{2} - 1$ всегда делится на 3.

Докажем утверждение, рассмотрев все возможные виды натуральных чисел, не кратных 3.

Анализ остатков

Любое натуральное число, не делящееся на 3, при возведении в квадрат дает остаток 1 при делении на 3. Проверим это аналитически:

Случай 1: Число вида 3k + 1

При возведении в квадрат получим:

(3 k + 1)^{2} = 9 k^{2} + 6 k + 1

Разность с единицей: $9 k^{2} + 6 k = 3 (3 k^{2} + 2 k)$ . Это выражение кратно 3.

Случай 2: Число вида 3k + 2

При возведении в квадрат получим:

(3 k + 2)^{2} = 9 k^{2} + 12 k + 4

Разность с единицей: $9 k^{2} + 12 k + 4 - 1 = 9 k^{2} + 12 k + 3 = 3 (3 k^{2} + 4 k + 1)$ . Полученное число также делится на 3 без остатка.

Вывод: для любого натурального числа, не кратного 3, разность его квадрата и единицы делится на 3.

💡 Похожие задачи

Номер 1227