Номер 1235 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Представьте многочлен $3 x^{3} + 7 x^{2} + 9 x + 6$ в виде многочлена $a y^{3} + b y^{2} + cy + d$ , где $y = x + 1$ .

Краткое решение

Так как $y = x + 1$ , то $x = y - 1$ . Подставим в исходный многочлен:

3 (y - 1)^{3} + 7 (y - 1)^{2} + 9 (y - 1) + 6 =

= 3 (y^{3} - 3 y^{2} + 3 y - 1) + 7 (y^{2} - 2 y + 1) + 9 y - 9 + 6 =

= 3 y^{3} - 9 y^{2} + 9 y - 3 + 7 y^{2} - 14 y + 7 + 9 y - 3 =

= 3 y^{3} - 2 y^{2} + 4 y + 1

Ответ: $3 y^{3} - 2 y^{2} + 4 y + 1$ .

Подробное решение

📚 Теория: Замена переменной в многочлене

Для перехода к новой переменной $y$ необходимо выразить старую переменную $x$ через $y$ и подставить полученное выражение во все члены многочлена. Далее используются формулы сокращенного умножения:

Куб разности: $(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$
Квадрат разности: $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$

Чтобы выполнить преобразование многочлена, воспользуемся методом замены переменной.

1. Определение зависимости

Из условия $y = x + 1$ следует, что:

x = y - 1

2. Подстановка в выражение

Заменим каждый $x$ в многочлене на $(y - 1)$ :

P (y) = 3 (y - 1)^{3} + 7 (y - 1)^{2} + 9 (y - 1) + 6

3. Раскрытие скобок и упрощение

Раскроем степени, используя формулы сокращенного умножения:

$3 (y - 1)^{3} = 3 (y^{3} - 3 y^{2} + 3 y - 1) = 3 y^{3} - 9 y^{2} + 9 y - 3$
$7 (y - 1)^{2} = 7 (y^{2} - 2 y + 1) = 7 y^{2} - 14 y + 7$
$9 (y - 1) + 6 = 9 y - 9 + 6 = 9 y - 3$

Сложим полученные результаты:

3 y^{3} + (- 9 + 7) y^{2} + (9 - 14 + 9) y + (- 3 + 7 - 3) =

= 3 y^{3} - 2 y^{2} + 4 y + 1

4. Результат

Мы получили многочлен вида $a y^{3} + b y^{2} + cy + d$ , где:

$a = 3$
$b = - 2$
$c = 4$
$d = 1$