Номер 1231 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что не существует целых коэффициентов $a, b, c$ и $d$ таких, что значение многочлена $a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ равно 1 при $x = 19$ и равно 2 при $x = 62$ .

Краткое решение

Составим систему уравнений:

{1 9^{3} a + 1 9^{2} b + 19 c + d = 1 6 2^{3} a + 6 2^{2} b + 62 c + d = 2

Вычтем из второго уравнения первое:

(6 2^{3} - 1 9^{3}) a + (6 2^{2} - 1 9^{2}) b + (62 - 19) c = 1

Разложим разности степеней, используя множитель $(62 - 19) = 43$ :

43 (6 2^{2} + 62 \cdot 19 + 1 9^{2}) a + 43 (62 + 19) b + 43 c = 1

Разделим обе части на 43:

(6 2^{2} + 62 \cdot 19 + 1 9^{2}) a + (62 + 19) b + c = \frac{1}{43} - дробное число .

Значит, коэффициенты $(a, b, c, d)$ не могут быть целыми числами.

Что и требовалось доказать.

Подробное решение

📚 Теория: Делимость многочленов

Если многочлен имеет целые коэффициенты, то разность его значений в двух целых точках $P (x_{2}) - P (x_{1})$ должна делиться на разность аргументов $x_{2} - x_{1}$ .

Для доказательства используем метод составления системы линейных уравнений относительно коэффициентов многочлена.

1. Формирование системы

Подставим значения $x = 19$ и $x = 62$ в общий вид многочлена:

{a \cdot 1 9^{3} + b \cdot 1 9^{2} + c \cdot 19 + d = 1 a \cdot 6 2^{3} + b \cdot 6 2^{2} + c \cdot 62 + d = 2

2. Преобразование системы

Вычитание уравнений позволяет исключить свободный коэффициент $d$ :

a (6 2^{3} - 1 9^{3}) + b (6 2^{2} - 1 9^{2}) + c (62 - 19) = 1

3. Анализ на целые числа

Заметим, что левая часть уравнения при целых $a, b, c$ обязана делиться на $62 - 19 = 43$ . Однако в правой части мы имеем единицу. Поскольку 1 не делится на 43 нацело, уравнение не может иметь решений в целых числах.

Вывод: не существует таких целых коэффициентов, которые удовлетворяли бы условию задачи.

💡 Похожие задачи

Номер 1230