Номер 1238 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Найдите трёхзначное число, которое равно квадрату двузначного числа и кубу однозначного числа.

Краткое решение

Трёхзначное число должно быть кубом однозначного числа. Проверим варианты:

$5^{3} = 125$ (не является полным квадратом)
$6^{3} = 216$ (не является полным квадратом)
$7^{3} = 343$ (не является полным квадратом)
$8^{3} = 512$ (не является полным квадратом)
$9^{3} = 729 = 2 7^{2}$ (подходит)

Ответ: 729.

Подробное решение

📚 Теория: Степени чисел

Трёхзначные числа находятся в диапазоне от 100 до 999. Чтобы найти число, обладающее сразу двумя свойствами (быть кубом и квадратом), удобнее всего перебрать кубы однозначных чисел, так как их количество ограничено.

Нам необходимо найти такое число $N$ , которое одновременно удовлетворяет трем условиям:

$100 \leq N \leq 999$ (трёхзначное число);
$N = x^{2}$ , где $10 \leq x \leq 99$ (квадрат двузначного числа);
$N = y^{3}$ , где $1 \leq y \leq 9$ (куб однозначного числа).

1. Перебор кубов однозначных чисел

Выпишем кубы однозначных чисел, которые являются трёхзначными:

$5^{3} = 125$
$6^{3} = 216$
$7^{3} = 343$
$8^{3} = 512$
$9^{3} = 729$

2. Проверка на соответствие квадрату

Проверим каждое из полученных чисел, является ли оно квадратом целого двузначного числа:

$125 \approx 11, 18$ (нет)
$216 \approx 14, 7$ (нет)
$343 \approx 18, 5$ (нет)
$512 \approx 22, 6$ (нет)
$729 = 27$ (да, 27 — двузначное число)

3. Проверка результата

Число 729:

Трёхзначное;
Равно $2 7^{2}$ (квадрат двузначного числа 27);
Равно $9^{3}$ (куб однозначного числа 9).

Искомое число найдено.